Да, правильно. Это фактически и есть школьное определение. Не прибегая к теоретико-множественной терминологии, сотоятельное определение дать затруднительно. Это определение является вполне понятным и удовлетворительным для школьных нужд. Есть только один маленький нюанс. Со строго формальной точки зрения не вполне ясно, что такое "способ". Поэтому формальное определение следующее (я использую сокращение \in для слова "принадлежит"). Функцией (отображением) из X в Y называется множество f, состоящее из упорядоченных пар вида (x,y), где x \in X, у \in Y, причём для каждого x \in X существует в точности один элемент y \in Y такой, что пара (x,y) принадлежит f. (Такой элемент однозначно зависит от x, и именно его далее разрешается обозначать через f(x).)

При таком подходе функция фактически отождествляется с её графиком. Преимуществом такого подхода является то, что вся математика строится на базе всего двух неопределяемых понятий - "множество" и "принадлежать". Но далее все без исключениями математические объекты совершенно строго определяются как те или иные множества. В этом и состоит основной замысел.

Вы могли заметить, что я использовал понятие упорядоченной пары. Оно тоже имеет строгое теоретико-множественное определение, но додуматься до него сходу очень непросто.

Я при изложении материала студентам обычно сочетаю обычный подход с формальным. То есть сначала даю "понятное" определение, а потом показываю, как от него можно перейти к строгому. В этом смысле я придерживаюсь того подхода, что надо знать обе вещи и уметь легко переводить с одного языка на другой.

Спасибо. Это действительно оригинально саму функцию выставить множеством (упорядоченных пар)! Мне понравилось. Но начинать надо с понятных вещей, а уже потом обобщать, формализовывать, минимизировать круг понятий... Например, держа в уме скалярное произведение обычных векторов, можно и в функциональном анализе ориентироваться:). Правда.
Мне кажется, что нужно эдакое "печёночное" понимание вещей, которое позднее можно облекать в изящные формулировки, типа приведённой Вами. А если сразу на ребёнка (студента) вывалить формализм, то он, скорее всего, отшатнётся, ощутит себя тупым и не полюбит математики. Ваш случай прихода к математике, по-моему, всё-таки особый:).

{+}