Настроение:	calm
Музыка:	Гр. Полухутенко -- Весна
Entry tags:	геометрия

Нечто о классической дифференциальной геометрии
На расслоении единичных касательных векторов к риманову многообразию имеется стандартная контактная форма: \alpha_{x,v} = \pi^*v^\perp. Её поле Реба, как проверяется нехитрым вычислением, это геодезический поток. Несложно видеть, что единичные сферы переводятся геодезическим потоком в образы под гауссовым отображением метрических сфер с центром в той точке, над которой была взята изначальная единичная сфера.

С другой стороны, если многообразие было вдобавок ещё и трёхмерное, на его единичном касательном расслоении заводится КР-структура имени Лебрюна: на единичных сферах она как на единичных сферах, а по горизонтали она задаётся векторным умножением на тот вектор, в котором мы сидим. И эту КР-структуру геодезический поток уже не сохраняет: иначе образы вертикальных сфер, интегральных голоморфных кривых на твисторах Лебрюна, также были бы голоморфными кривыми, в то время как гауссово отображение из поверхности в твисторы Лебрюна голоморфно тогда и только тогда, когда поверхность вполне умбилична. Метрические же сферы умбиличны крайне редко.

Но геодезический поток мало того что не голоморфен -- в случае трёхмерной сферы с круглой метрикой он всё же голоморфен -- он ещё и естественную метрику не сохраняет! Я даже картинку нарисовал:

Геодезический поток размазывает вертикальную чёрную сферу в косую синюю, и точно так же перекашивает вертикальное зелёное пространство: если изначально оно проецировалось в точку, то после расплывания оно начинает падать в касательное пространство к метрической сфере в базе. Замечу однако, что и по вертикали, и по горизонтали в отдельности геодезический поток, кажется, всё же сохраняет комплексную структуру; таким образом, производная тензора комплексной структуры по геодезическому потоку это просто мера того, насколько проекция косого зелёного пространства становится комплексно-нелинейной. Кажется, это просто условие пропорциональности метрического тензора тензору Риччи; это в данном случае означает постоянство и секционной кривизны.

И всё же случай трёхмерной круглой сферы очень интересен. Её твисторы Лебрюна имеют следующее описание: рассмотрим кватернионное расслоение Хопфа CP^3 = P_C(C^4) = P_C(H^2) \to P_H(H^2) = HP^1 = S^4. Его слои суть проективные прямые; рассмотрим те из них, которые лежат над некоторой экваториальной S^3 \subset S^4. Получится вещественная гиперповерхность в CP^3, на которой лежит некоторая комплексная квадрика (именно, состоящая из прямых, параметризованных некоторой подсферой S^2 \subset S^3). А как описать другие рациональные кривые, лежащие на этой гиперповерхности, и получающиеся как гауссовы подъёмы круглых сфер в S^3 (не обязательно экваториальных -- в конце концов, на всём этом образовании действует группа мёбиусовых преобразований сферы, ибо твисторы Лебрюна конформно инвариантны)? Из соображений инвариантности чисел Черна следует, что это также должны быть проективные прямые в CP^3. Получается вещественно четырёхпараметрическое семейство, и совершенно никакое не аналитическое: в самом деле, его предельными точками являются вертикальные сферы, которые параметризованы точками самой S^3. Если бы на базе этого семейства была естественная комплексная структура, она бы высекала на нашей сфере, вложенной туда как локус предельных положений, КР-структуру, инвариантную относительно мёбиусовой группы, что абсурдно. Скорее наоборот, это четырёхпараметрическое семейство (к слову, это компактификация вещественного гиперболоида в R^5) является вполне вещественным подмногообразием в комплексно четырёхмерном грассманиане Gr(2,4) (который, к слову, тоже квадрика -- Плюккера).

Брайант обнаружил какие-то интересные инварианты поверхностей в S^3 относительно группы мёбиусовых преобразований. Самое простое из них это подынтегральное выражение Вильмора, (H^2 - K)\omega_g, где H -- средняя кривизна, K гауссова кривизна, а \omega_g форма площади. Функция H^2-K положительна и обнуляется в точности в умбилических точках, что умбилические точки (точки, в которых гауссово отображение в твисторы Лебрюна голоморфно) являются инвариантом относительно конформной замены метрики, мы уже знаем. Более того, при конформной замене метрики, хотя оператор внешней кривизны конечно меняется, не меняются его собственные вектора (можно явно написать, как меняется оператор внешней кривизны: он умножается на половину квадратного корня из конформного множителя, и из него вычитается тождественный оператор, умноженный на производную корня из конформного множителя в нормальном направлении). Для поверхности это означает, что на ней возникают два взаимно перпендикулярных слоения, которые не меняются при конформной замене метрики, и имеют особенности в умбилических точках. Это очень похоже на пару слоений, связанных с абелевым или квадратичным дифференциалом; было бы здорово, если его можно было бы извлечь из комплексной геометрии твисторного пространства. Там в принципе есть какой-то дифференциал Брайанта четвёртой степени; но понять, что это такое, пока не представляется возможным из-за экстенсивного использования метода подвижного репера (вместо того, чтобы говорить о геометрии расслоений над твисторами Лебрюна).

Ещё очень похожие картинки, с этими линиями кривизны, в науке о геодезических на эллипсоиде; если их в самом деле можно проинтерпретировать как слоение, связанное с каким-то квадратичным дифференциалом, то интегрируемость геодезического потока на эллипсоиде в терминах абелевых интегралов (связанных скажем с ветвящимся накрытием эллипсоида, на котором из этого квадратичного дифференциала извлекается квадратный корень) совершенно неудивительна. Про что-то такое Хитчин в Петербурге рассказывал, но я как всегда был влюблён и ничего не понял.

Но определённо должна быть какая-то мораль у этой конформно инвариантной сетки на поверхности, вложенной в пространство; какой-нибудь комплексный аналог например. Кстати теорема о том, что эта сетка конформно инвариантна, гораздо моложе теоремы Лиувилля о мёбиусовости конформных автоморфизмов, и принадлежит двум межвоенным нидерландцам: один это Схоутен, а другой помер в сто шесть лет.

In 1926 Struik was offered positions both at the Moscow State University and the Massachusetts Institute of Technology. He decided to accept the latter, where he spent the rest of his academic career. He collaborated with Norbert Wiener on differential geometry, while continuing his research on the history of mathematics. He was made full professor at MIT in 1940.

Struik was a steadfast Marxist. Having joined the Communist Party of the Netherlands in 1919, he remained a Party member his entire life. When asked, upon the occasion of his 100th birthday, how he managed to pen peer-reviewed journal articles at such an advanced age, Struik replied blithely that he had the "3Ms" a man needs to sustain himself: Marriage (his wife, Saly Ruth Ramler, was not alive anymore though when he turned one hundred in 1994), Mathematics and Marxism.