Настроение:	horny
Entry tags:	геометрия

Пусть C каноническая кривая рода четыре, она лежит на единственной квадрике. Если эта квадрика -- конус, назовём такую кривую новогодней (потому что конус похож на ёлку, а кривая на гирлянду). Чаще эта квадрика гладкая. Это значит, что пространство абелевых дифференциалов H^0(K_C) снабжено некоторой невырожденной квадратичной формой Q (с коэффициентами в некотором линейном пространстве). А какой?

Если \alpha абелев дифференциал, то имеем Q(\alpha, \alpha) = 0 тогда и только тогда, когда соответствующая \alpha плоскость касается квадрики, то есть натянута на две образующие этой квадрики. Это значит, что дивизор нулей Z_\alpha есть сумма двух дивизоров, в которых кривую C пересекают две её трисекущие, одна левая, другая правая. Проекция вдоль правого/левого семейства задаёт два тройных накрытия C \to P^1, и оттяги сечений O(1) вдоль них будут сечениями, соответствующими дивизорам, высекаемым правыми/левыми трисекущими. Таким образом, пространство H^0(K_C) может быть реализовано как тензорное произведение L \o R, где L и R -- два связанных с кривой C двумерных векторных пространства (притом естественно с точностью до выбора лева-права). Иначе это тензорное произведение можно записать как Hom(L^*, R), и квадратичная форма будет задаваться как определитель, её значения будут элементами линейного пространства \Lambda^2(L^*) \o \Lambda^2(R).

Для новогодних кривых всё сказанное резко теряет смысл, потому что форма Q, определённая вообще-то на H^0(K_C)^*, становится вырожденной, и говорить о её значениях на векторах из H^0(K_C) невозможно. Вершина конуса, на котором лежит C, будет соответствовать прямой, натянутой на вектор \eta \in H^0(K_C)^*, характеризующийся тем, что \eta(Z_1 + Z_2) = 0 для любых дивизоров Z_i, высеченных трисекущими.

Что-то отвлёкся после того, как это написал, и понял, что вообще не могу сообразить, что сказать-то хотел. Да и поделом, час уже поздний. В любом случае, хотелось бы как-то понять, что происходит в семействах, и какова гомологическая природа пространств L и R. Можно ли их как-то увидеть в едином расслоении, чтобы сказать, что в случае новогодних кривых слои этих подрасслоений совпадают (что было бы в согласии с геометрической интуицией)?

Это всё может быть применено к четырёхмерной кубике. А именно, на ней возникает квадратичная форма с коэффициентами в линейном расслоении, аналогичная форме dzdw на двумерной квадрике, которая есть P^1 \x P^1: прямые, проходящие через данную точку четырёхмерной кубики, составляют в касательном пространстве конус над кривой рода четыре. В общей точке эта кривая каноническая, так что определяет изоморфизм касательного пространства в этой точке с Hom(L^*, R) -- где L и R некоторые расслоения ранга два. Было бы очень занятно, если бы оно на многообразии Бовиля-Донаги как-то отражалось, но наверное никак, голоморфной квадратичной форме трансгрессировать некуда, кроме как в константу.