Настроение:	full
Музыка:	jan misali --
Entry tags:	геометрия

О гении Богомолова
Пусть есть X \to B, лагранжево расслоение на голоморфно симплектическом многообразии, и у него голоморфное сечение s : B \to X. Обозначим его образ за S. Мы знаем, что всякое топологическое сечение делается голоморфным в некоторой деформации; ну так давайте начнём деформировать голоморфное сечение как топологическое, и смотреть, что будет происходить с деформацией всего многообразия. Подмногообразие, близкое к данному, задаётся сечением \eta \in \nu_{S/X} = \Omega^{1,0}(S) = \Omega^{1,0}(B), и будет в точности вырожденной твисторной деформацией, связанной с (2,0)+(1,1)-формой d\eta. Но вырожденная твисторная деформация, связанная с точной формой, тривиализуется! Таким образом, можно будет задать векторное поле, двигая вдоль которого голоморфно симплектическую структуру, можно будет добиться того, что движущееся сечение будет оставаться лагранжевым.

Обратно, если есть топологическое сечение, в ограничении на которое голоморфная симплектическая форма точна, то делающая его голоморфным вырожденная твисторная деформация тривиализуется. Итак, верно следующее усиление леммы Хитчина (о голоморфности комплексно-лагранжевых сечений): ограничение голоморфной симплектической формы на сечение лагранжева расслоения точно тогда и только тогда, когда оно может быть прогомотопировано в голоморфное. Но первое условие значит просто, что голоморфная симплектическая форма интегрируется нулём по всем классам вторых гомологий сечения. А сечение это CP^n, то есть его вторые гомологии порождены классом CP^1 \subset CP^n.

Видимо, ровно это и имел ввиду Богомолов, когда утверждал, что получить одну рациональную кривую это в ту же цену, что получить всё сечение.