Настроение:	sick
Entry tags:	геометрия

Вполне вещественные подмногообразия твисторов Лебрюна
Если X трёхмерное многообразие, поверхность можно поднять в сферизацию ST^*X его кокасательного расслоения гауссовым отображением. Точку можно поднять просто как слой над ней. Оба этих подъёма лежандровы, то есть горизонтальны относительно контактного распределения; кроме того, слой над точкой всегда есть аналитическая кривая относительно обеих имеющихся на тотальном пространстве КР-структур -- Лебрюна и Илса-Саламона. Подъём поверхности аналитичен тогда и только тогда, когда поверхность убмилична (для твисторов Лебрюна) и минимальна (для твисторов Илса-Саламона).

А как можно поднять кривую? Да точно так же в общем-то, над кривой повесим множество касательных 2-плоскостей, которых она касается -- то есть над каждой точкой кривой будет висеть сферизация её конормального расслоения. Этот тор лежандров, и всякий слой проекции ST^*X \to X пересекает по вещественно одномерному подмногообразию -- то есть аналитичным он не будет ни для какой из КР-структур. Выбор метрики на X определяет связность Леви-Чивиты на конормальном расслоении и следовательно трансверсальное слоение на торе; касательные вектора к этому слоению не будут, вообще говоря, касаться горизонтального распределения связности Леви-Чивиты, отличаясь от горизонтальных подъёмов на некий вертикальный вектор -- вектор внешней кривизны кривой (то есть вектор центростремительной силы, действующей на точку, описывающую эту кривую).

То есть касательное пространство к такому тору трансверсально своему образу под действием оператора комплексной структуры. В этом смысле поднятие всякой кривой есть вполне вещественное подмногообразие. Однако можно потребовать большего: а именно, чтобы повёрнутое касательное пространство было в точности перпендикулярно самому касательному пространству, как скажем RP^n \subset CP^n (это свойство не может быть постулировано без выбора метрики на X). Это условие выполнено лишь в точках тора, соответствующих касательным плоскостям, содержащим вектор кривизны в данной точке; в каждой точке оно имеет место тогда и только тогда, когда кривая геодезична. Пространство модулей вполне вещественных подмногообразий в слабом смысле бесконечномерно, но обладает некоторой геометрией, см. статью Лотея и Пачини. Если их построения перенести на КР-случай, можно посмотреть, как они взаимопроникают с комплексной структурой на пространстве модулей узлов в трёхмерном конформно римановом многообразии. Случай геодезических наоборот жёсток, трёхмерных римановых многообразий, все геодезические на которых замкнуты, очень немного, кажется только факторы круглой сферы; так мы получаем пространство вполне вещественных торов в вещестенной квадратичной гиперповерхности в CP^3, твисторах Лебрюна круглой сферы. Учитывая что большие круги на S^3 параметризуются CP^1 \x CP^1, может быть имеет смысл искать комплексную структуру на пространстве модулей вполне геодезичных поверхностей (в строгом смысле) в пятимерных КР-многообразиях.