Настроение:	calm
Музыка:	sonic youth -- forever young
Entry tags:	геометрия

Квадрики
Квадрики имеют удивительное, до некоторой степени, различие в поведении между четной и нечетной размерностью. А именно:

1) Гладкая квадрика в P^{2n} не содержит никаких P^n-ов, общая особая квадрика в P^{2n} содержит два семейства P^n-ов, параметризованных P^{n-1}-ами;
2) Гладкая квадрика в P^{2n+1} содержит два семейства P^n-ов, параметризованных P^n-ами, на общей особой квадрике они сливаются в одно.

Пусть мы имеем какой-то набор квадрик Q_i, числом m+1. Записывая их как симметричные матрицы, имеем право рассмотреть их взаимный характеристический многочлен \chi_Q = \det(\sum_{i=0}^m \lambda_i Q_i). Он определяет гиперповерхность в P^m, и вышеуказанная дихотомия реализуется на ней следующим образом:

1) Если наши квадрики жили в P^{2n}, то над характеристической гиперповерхностью возникает двойное накрытие, а над ним -- расслоение на P^{n-1}-ы.
2) Если наши квадрики жили в P^{2n+1}, то над P^m-ом возникало бы двойное накрытие, разветвленное в характеристической гиперповерхности, а над ним -- расслоение на P^n-ы.

Второй случай известен является классическим для m = 1:

Теорема (Понселе, Клейн, Рид, Донаги) Пусть X есть пересечение двух общих квадрик в P^{2n+1}. Тогда линейные P^{n-1}-ы, лежащие на X, параметризуются абелевым многообразием, изоморфным якобиану гиперэллиптической кривой, получающейся двойным накрытием P^1 с ветвлением в характеристическом локусе. ∎

Первый же не столь известен, но зато для m = 2:

Теорема (Тюрин, Бовиль) Пусть Y есть пересечение трех общих квадрик в P^{2n}. Тогда его промежуточный якобиан изоморфен многообразию Прима естественного двойного накрытия характеристической кривой. ∎

В частности, эта теорема применима к канонической кривой рода пять. Выходит, что ее якобиан изоморфен примиану двойного накрытия некоторой плоской квинтики. Это базовое соображение, с которого стартуют Клеменс и Гриффитс при доказательстве иррациональности общей трехмерной кубики.

Любопытен еще один случай, не покрываемый этими двумя, а именно канонической модели К3 рода пять.

Теорема (Мукаи) Пусть Z \subset P^5 К3-поверхность, заданная как пересечение трех квадрик. Тогда двойное накрытие P^2, разветвленное в характеристической секстике, есть К3-поверхность рода два, партнерская по Фурье-Мукаи к Z.

Связь между ними можно установить следующим образом, о котором я уже много раз писал. Возьмем Hilb^2(Z), и реализуем его в Gr(2,6) (пара точек на Z \subset P^5 отправляется в стягивающую их хорду). Возьмем все линейные комбинации наших квадрик, тождественно зануляющиеся на данной хорде. Это линейное условие, так что всякая хорда задает прямую в P^2 (которая параметризует наши квадрики), или же точку двойственной P_2^*. Имеем проекцию Hilb^2(Z) \to P_2^*; это лагранжево расслоение, а слои его -- прямые на пересечении двух квадрик в P^5, то есть по теореме Понселе-Клейна-Рида-Донаги якобианы кривых рода два. Причем кривые эти получаются как двойные накрытия соответствующих прямых в P^2, разветвленные в точках пересечения с характеристической секстикой -- то есть как слои компактифицированного якобиана характеристической К3 рода два!! и действительно, эти два лагранжевых расслоения получаются друг из друга скручиванием Шафаревича-Тейта (точнее, если не ошибаюсь, лагранжево расслоение на Hilb^2(Z) оказывается изоморфным компактифицированному Pic^1 от характеристического преобразования Z).

А можно поступить иначе, об этом я кажется еще не писал. Для начала подумаем: в скольки точках может линейное P^2 пересекать Z \subset P^5? Ну конечно в трех: просто возьмем три точки на Z, и проведем через них P^2. Можно добиться, подбирая точки, так, чтобы проходящая через них P^2 пересекла Z еще в четвертой. Поскольку пять точек уже никогда не получится, можем рассмотреть такое подмногообразие в Hilb^4(Z): локус четверок, высекаемых какой-то четверосекущей. Заметим, что четверосекущая -- это плоскость, на которой наши три квадрики высекают три коники, проходящие через четверку точек -- иначе говоря, плоскость, ограничении на которую наши квадрики становятся линейно зависимы; плоскость, лежащая на некоторой линейной комбинации наших квадрик. Пользуясь вторым пунктом нашей оригинальной дихотомии, можем понять, что параметризует четверосекущие: для каждой неособой квадрики это пара P^2, а для особой -- одно P^2. Иначе говоря, это семейство P^2, параметризованное двойным накрытием плоскости, разветвленным в характеристической секстике, или же P^2-семейство над К3 рода два. Если вспомнить, что пространство четверосекущих это еще и локус в Hilb^4(Z), это расслоение на P^2 тем самым является характеристическим слоением на коизотропном подмногообразии, а само подмногообразие оказывается алгебраически интегрируемым.

Это все самый простой случай, то есть для трех квадрик в P^7 наверное будет какой-то пиздец, алгебраические циклы, компонента Кузнецова, цветущая сложность, Пирутка-Кольо-Тєлэн; проще сразу в могилу.