Monday, October 4th, 2021

Time	Event
1:02p	Конструкция Маркмана и кривые рода три на абелевых поверхностях Если v_r и noctiluca, наши друзья и друзья равенства, не врут, то что бы мешало бы конструкцию Маркмана применить и к кривым на абелевой поверхности? Если всё правильно переговорить через пучки, возникнет нечто, а по сути следующее: имеется абелева поверхность A, на ней гладкая кривая рода g. Рассмотрим все её гладкие деформации, это g-мерное многообразие, на котором A действует сдвигами, а фактор \CP^{g-2}. Послойный якобиан этого образования допускает голоморфную симплектическую структуру, которая в свою очередь допускает компактификацию, и на всём этом снова действуют сдвиги, и по ним можно произвести симплектическую редукцию. Получается лагранжево расслоение над \CP^{g-2}, слой которого над точкой C \subset A есть ядро отображения Jac(C) \to A. Это многообразие, вероятно, деформационно эквивалентно обобщённому куммерову многообразию (g-1)-точечных подсхем этой поверхности, суммирующихся нулём. Но это дико уже для g=3! Получается следующее: имеется кривая рода три C на абелевой поверхности A (или, что то же самое, двойное накрытие эллиптической кривой, разветвлённое в четырёх точках). Её деформации с точностью до сдвига параметризуются \CP^1. Если для каждой деформации мы повесим над соответствующей точкой \CP^1 эллиптическую кривую, ядро отображения из якобиана в A -- или ту самую эллиптическую кривую, которую C двулистно накрывает, это одно и то же -- то получится естественным образом эллиптическая K3-поверхность. Это не то что бы удивительно: чтобы задать 2-форму в размерности два, нужно указать, как умножается одна пара векторов. Ну возьмём вертикальный вектор (то есть класс из H^{0,1}(C), спаривающийся нулём с любой формой, приходящей на C ограничением с A), возьмём любой другой, спроецируем вниз (получив класс из H^{1,0}(C) с точностью до приходящих ограничением с A), да и спарим. Но что это за K3-поверхность, вообще-то совершенно непонятно. Почему у кривой рода три на абелевой поверхности только 24 (или какое-то частное 24) вырождений? Вопросов больше чем ответов. С модулями дела обстоят так. Биэллиптические кривые рода три имеют четырёхмерные модули (один параметр -- какую эллиптическую кривую мы накрываем, ещё четыре -- выбор критического локуса, и минус один за действие сдвигами). Биэллиптическая кривая даёт не только К3, но и конкретную эллиптическую кривую на ней, то есть поверхностей таким образом мы получаем не более чем трёхмерное семейство. То есть как куммеровых! Но не на любой куммеровой K3 есть эллиптическое расслоение (хотя если их меньше, проблемы не возникает). Непонятно также, что с этим семейством делает вырожденная твисторная деформация. Думаю, она должна идти трансверсально ему -- в противном случае было бы что-то типа семейства абелевых поверхностей, на которых все кривые рода три одни и те же, а условие быть частным абелева многообразия есть условие дискретное. Вопроса с возможным касанием это, впрочем, не закрывает (дискретность ещё не означает неразветвлённости). Current Mood: hungry (3 Comments | Comment on this)
4:25p	Миллениалы изобрели преобразование Фурье-Мукаи Пусть есть голоморфно симплектическое многообразие. Его пространство периодов есть открытый кусок квадрики в P(H^2), то есть имеет размерность b_2-2. Локус многообразий, допускающих лагранжевы расслоения, есть счётное объединение дивизоров в нём, то есть размерности b_2-3, и на нём в свою очередь есть слоение вырожденными твисторными кривыми. Пространство листов этого слоения, называемое tiphareth пространством Алексеева, имеет размерность b_2-4. Например, если многообразие было деформационно эквивалентно схеме Гильберта К3-поверхности, эта размерность равняется 19, a если обобщённому куммерову многообразию -- то 3. Заметим, что это размерности пространств модулей поляризованных К3 и абелевых многообразий соответственно. Для К3-поверхностей, как уже неоднокрано упоминалось в этом блоге, имеется конструкция Бисваса-Маркмана-Маркушевича, компактифицирующая относительный якобиан кривых рода g на К3-поверхности до голоморфно симплектического многообразия, деформационно эквивалентного g-точечной схеме Гильберта. Это определяет отображение из пространства периодов К3 с поляризацией рода g в пространство лагранжево расслоённых многообразий. С другой стороны, вырожденная твисторная деформация ему трансверсальна, потому что общая кривая на K3-поверхности не имеет тривиальных деформаций, кроме нулевой. Стало быть, мы таким образом получаем всю компоненту, ну или по крайней мере открытый её кусок (и наверное в силу какой-нибудь эргодичности плотный). С другой стороны, вырожденная твисторная деформация сохраняет слои. Получается следующий результат: общее абелево многообразие, возникающее как слой лагранжева расслоения на гиперкэлеровом многообразии типа K3^{[n]}, есть якобиан кривой, лежащей на К3-поверхности. Звучит чудовищно неправдоподобно, но что поделать. Можно например посчитать дифференциал отображения Маркмана из пространства периодов поляризованных К3 в пространство Алексеева. А именно, касательное пространство к пространству периодов это H^{1,1}, поляризацию сохраняет ортогонал к ней по форме пересечения. Касательное пространство к пространству Алексеева это фактор h^\perp/h, где h = c_1(\pi^*(O(1))), а ортогонал берётся по форме Бовиля-Богомолова. И форма пересечения, и форма Бовиля-Богомолова индуцируют на своих пространствах отрицательно определённую форму, и мы ищем естественную изометрию (которая бы ещё наверное переводила целочисленные вектора в целочисленные вектора, если таковые найдутся). Целочисленный вектор в ортогонале к поляризации это линейное расслоение, которое ограничивается на каждую кривую линейной системы как топологически тривиальное. Тем самым, оно задаёт сечение относительного Pic^0, и опуская вдоль него пучок Пуанкаре, мы получаем линейное расслоение на тотальном пространстве относительного якобиана. Кроме того, на каждом слое оно тривиализуется, так что лежит в ядре отображения ограничения H^{1,1}(Jac) \to H^{1,1}(A), а это ядро есть ортогонал к полуобильному вектору относительно формы Бовиля-Богомолова. Чего я не понимаю, так это где и что я пропустил, что у меня сразу получилось линейное расслоение, а не линейное расслоение с точностью до обратного образа чего-то с базы. С другой стороны, это непонимание воодушевляет: если бы не это, это давно бы уже было написано в какой-нибудь базовой книжке про преобразование Фурье-Мукаи. Current Mood: tired (2 Comments | Comment on this)

<< Previous Day

2021/10/04 [Calendar]

Next Day >>