Настроение:	tired
Entry tags:	геометрия, геометрия/лагранжевы расслоения

Миллениалы изобрели преобразование Фурье-Мукаи
Пусть есть голоморфно симплектическое многообразие. Его пространство периодов есть открытый кусок квадрики в P(H^2), то есть имеет размерность b_2-2. Локус многообразий, допускающих лагранжевы расслоения, есть счётное объединение дивизоров в нём, то есть размерности b_2-3, и на нём в свою очередь есть слоение вырожденными твисторными кривыми. Пространство листов этого слоения, называемое tiphareth пространством Алексеева, имеет размерность b_2-4.

Например, если многообразие было деформационно эквивалентно схеме Гильберта К3-поверхности, эта размерность равняется 19, a если обобщённому куммерову многообразию -- то 3. Заметим, что это размерности пространств модулей поляризованных К3 и абелевых многообразий соответственно.

Для К3-поверхностей, как уже неоднокрано упоминалось в этом блоге, имеется конструкция Бисваса-Маркмана-Маркушевича, компактифицирующая относительный якобиан кривых рода g на К3-поверхности до голоморфно симплектического многообразия, деформационно эквивалентного g-точечной схеме Гильберта. Это определяет отображение из пространства периодов К3 с поляризацией рода g в пространство лагранжево расслоённых многообразий. С другой стороны, вырожденная твисторная деформация ему трансверсальна, потому что общая кривая на K3-поверхности не имеет тривиальных деформаций, кроме нулевой. Стало быть, мы таким образом получаем всю компоненту, ну или по крайней мере открытый её кусок (и наверное в силу какой-нибудь эргодичности плотный).

С другой стороны, вырожденная твисторная деформация сохраняет слои. Получается следующий результат: общее абелево многообразие, возникающее как слой лагранжева расслоения на гиперкэлеровом многообразии типа K3^{[n]}, есть якобиан кривой, лежащей на К3-поверхности. Звучит чудовищно неправдоподобно, но что поделать.

Можно например посчитать дифференциал отображения Маркмана из пространства периодов поляризованных К3 в пространство Алексеева. А именно, касательное пространство к пространству периодов это H^{1,1}, поляризацию сохраняет ортогонал к ней по форме пересечения. Касательное пространство к пространству Алексеева это фактор h^\perp/h, где h = c_1(\pi^*(O(1))), а ортогонал берётся по форме Бовиля-Богомолова. И форма пересечения, и форма Бовиля-Богомолова индуцируют на своих пространствах отрицательно определённую форму, и мы ищем естественную изометрию (которая бы ещё наверное переводила целочисленные вектора в целочисленные вектора, если таковые найдутся). Целочисленный вектор в ортогонале к поляризации это линейное расслоение, которое ограничивается на каждую кривую линейной системы как топологически тривиальное. Тем самым, оно задаёт сечение относительного Pic^0, и опуская вдоль него пучок Пуанкаре, мы получаем линейное расслоение на тотальном пространстве относительного якобиана. Кроме того, на каждом слое оно тривиализуется, так что лежит в ядре отображения ограничения H^{1,1}(Jac) \to H^{1,1}(A), а это ядро есть ортогонал к полуобильному вектору относительно формы Бовиля-Богомолова.

Чего я не понимаю, так это где и что я пропустил, что у меня сразу получилось линейное расслоение, а не линейное расслоение с точностью до обратного образа чего-то с базы. С другой стороны, это непонимание воодушевляет: если бы не это, это давно бы уже было написано в какой-нибудь базовой книжке про преобразование Фурье-Мукаи.