Ответ на
вопрос про эллиптическую К3, получаемую из поляризации степени три на абелевой поверхности, очень прост: это более-менее её куммер и есть. А именно, как заметил Барт, кривая рода три лежит на абелевой поверхности тогда и только тогда, когда это двойное накрытие эллиптической кривой. Иначе говоря на ней имеется инволюция, которая действует на
H^{1,0} с одним собственным вектором для собственного числа
+1, порождающим вместе со своим сопряжённым рациональное подпространство в
H^1, и как
-1 в трансверсальном направлении. Это
(-1)-собственное подпространство это дифференциалы, приходящие ограничением с абелевой поверхности, на которой кривая лежит; то есть некоторый её сдвиг сохраняется умножением на
-1 на абелевой поверхности, и
-1 действует на нём пресловутой инволюцией. Фактор по этой инволюции, сиречь эллиптическая кривая, потому лежит на факторе абелевой поверхности, и стало быть подымается в куммера. Теперь мы начинаем деформировать кривую; при подходящих сдвигах всё то же самое получается для деформаций, то есть эллиптическая кривая едет по куммеру и получается на нём эллиптическое расслоение.
То есть если вам не хочется получать эллиптическую К3 как банального куммера от произведения эллиптических кривых, можно вот такое сделать. Интересно, вырождается ли одно в другое. В больших размерностях это оказывается называется пространством Дебарра.