Настроение:	hungry
Entry tags:	геометрия, геометрия/лагранжевы расслоения

Конструкция Маркмана и кривые рода три на абелевых поверхностях
Если v_r и noctiluca, наши друзья и друзья равенства, не врут, то что бы мешало бы конструкцию Маркмана применить и к кривым на абелевой поверхности? Если всё правильно переговорить через пучки, возникнет нечто, а по сути следующее: имеется абелева поверхность A, на ней гладкая кривая рода g. Рассмотрим все её гладкие деформации, это g-мерное многообразие, на котором A действует сдвигами, а фактор \CP^{g-2}. Послойный якобиан этого образования допускает голоморфную симплектическую структуру, которая в свою очередь допускает компактификацию, и на всём этом снова действуют сдвиги, и по ним можно произвести симплектическую редукцию. Получается лагранжево расслоение над \CP^{g-2}, слой которого над точкой C \subset A есть ядро отображения Jac(C) \to A. Это многообразие, вероятно, деформационно эквивалентно обобщённому куммерову многообразию (g-1)-точечных подсхем этой поверхности, суммирующихся нулём.

Но это дико уже для g=3! Получается следующее: имеется кривая рода три C на абелевой поверхности A (или, что то же самое, двойное накрытие эллиптической кривой, разветвлённое в четырёх точках). Её деформации с точностью до сдвига параметризуются \CP^1. Если для каждой деформации мы повесим над соответствующей точкой \CP^1 эллиптическую кривую, ядро отображения из якобиана в A -- или ту самую эллиптическую кривую, которую C двулистно накрывает, это одно и то же -- то получится естественным образом эллиптическая K3-поверхность.

Это не то что бы удивительно: чтобы задать 2-форму в размерности два, нужно указать, как умножается одна пара векторов. Ну возьмём вертикальный вектор (то есть класс из H^{0,1}(C), спаривающийся нулём с любой формой, приходящей на C ограничением с A), возьмём любой другой, спроецируем вниз (получив класс из H^{1,0}(C) с точностью до приходящих ограничением с A), да и спарим. Но что это за K3-поверхность, вообще-то совершенно непонятно. Почему у кривой рода три на абелевой поверхности только 24 (или какое-то частное 24) вырождений? Вопросов больше чем ответов.

С модулями дела обстоят так. Биэллиптические кривые рода три имеют четырёхмерные модули (один параметр -- какую эллиптическую кривую мы накрываем, ещё четыре -- выбор критического локуса, и минус один за действие сдвигами). Биэллиптическая кривая даёт не только К3, но и конкретную эллиптическую кривую на ней, то есть поверхностей таким образом мы получаем не более чем трёхмерное семейство. То есть как куммеровых! Но не на любой куммеровой K3 есть эллиптическое расслоение (хотя если их меньше, проблемы не возникает). Непонятно также, что с этим семейством делает вырожденная твисторная деформация. Думаю, она должна идти трансверсально ему -- в противном случае было бы что-то типа семейства абелевых поверхностей, на которых все кривые рода три одни и те же, а условие быть частным абелева многообразия есть условие дискретное. Вопроса с возможным касанием это, впрочем, не закрывает (дискретность ещё не означает неразветвлённости).