Настроение:	okay
Музыка:	Михаил Елизаров – Пассионарный толчок
Entry tags:	геометрия, геометрия/исключительные голономии

Мыльные плёнки в торсионном поле и параболы Вербицкого
Я всё хотел построить отображение из базы пучка Лефшеца-Ковалёва в пространство периодов слоя, которое как-то бы уважало связность Лиувилля-Арнольда, которая на ней имеется. Самая логичная форма уважения состоит в том, что поверхности, минимальные относительно этой связности (а точнее их подъёмы в единичное касательное расслоение) отправлялись бы этим отображением в ростки голоморфных кривых в пространстве периодов. Прообразы таких поверхностей были бы в тотальном пространстве имели бы внешнюю кривизну, собственные числа которой разбивались на пары, отличающиеся знаком, и там самым почти комплексная структура, данная векторным умножением на единичную нормаль, была бы интегрируема. Получалось бы семейство K3-поверхностей (или торов), изоморфное ограничению универсального семейства над пространством периодов на образ желанного отображения. Проект этот кажется накрылся, но не вполне (и всё-таки какой-то такой милости от природы я ещё ожидаю).

А с другой стороны нам известно, что дискриминант пучка Лефшеца-Ковалёва -- это некоторое зацепление. Давайте на минутку представим, что мы нашли вышеописанное отображение, а база наша односвязна. Натянем на связную компоненту этого зацепления мыльную плёнку, минимальную относительно связности Лиувилля-Арнольда. Это не вполне корректная операция, поскольку связность не определена в дискриминанте, так что эта плёнка будет уходить как бы на бесконечность; кроме того, если эта компонента не является изолированным неузлом, то гомологический класс плёнки будет с необходимостью пересекать другие компоненты дискриминанта или же самопересекаться. Всё равно. Образом её (точнее её универсального накрытия) будет некая кривая, по всей видимости целая, в пространстве периодов, уходящая на бесконечность. В простейшем случае, когда тотальное пространство есть произведение эллиптической K3 и тора, а проекция падает не на тор, а на S^2 x S^1, дискриминант будет иметь вид Q x S^1, где Q \subset S^2 есть 24 точки, в которых эллиптический пучок вырождается. Это расслоение инвариантно относительно вращения вдоль S^1-сомножителя, так что слои над компонентами дискриминанта постоянны при движении вдоль него. К этому расслоению спекуляция выше неприменима, поскольку компоненты дискриминанта не гомологичны нулю; однако если такая инвариантность вдоль дискриминанта имеет место, то можно было бы поверить, что та целая кривая -- образ нашей плёнки под гипотетическим отображением периодов -- будет иметь в пространстве периодов только одну точку на бесконечности.

С другой стороны, для лагранжевых K3-поверхностей такие кривые хорошо известны, и даются вырожденной твисторной деформацией (PDF, 332 кБ), как её называет автор, а мы с v_r зовём эти кривые по-простому параболами Вербицкого. Если одно имеет отношение к другому, то это, кажется, даёт сильное ограничение на возможные особенности пучков Ковалёва-Лефшеца. Но как и в случае с моей оригинальной догадкой, скорее всего, утверждение тут гораздо сложнее себе представить. Надо понять, что происходит для примеров Ковалёва.