крест и радуга [entries|friends|calendar] Rodion Déev [ userinfo | livejournal userinfo ] [ calendar | livejournal calendar ]

Кривые рода два и элементарная геометрия [05 Nov 2020|09:16pm] [ mood | lonely ] [ music | Гр. Полухутенко -- Имена ] Кривая рода два, двигаясь по K3-поверхности, параметризуема двумерным семейством в пространстве Тейхмюллера. Например, потому что всякая такая K3-поверхность есть двойное накрытие P^2, разветвлённое в секстике, а кривая рода два есть то, что висит над некоторой проективной прямой в ней, соответственно разветвлённое в точках пересечения. Прямые же на плоскости параметризуются двойственной плоскостью. А что за локус-то в Тейхмюллере возникает? Да пожалуйста, есть шесть точек пересечения, A, B, C, D, E, F. Воспринимая их как точки на проективной прямой, загоняем три из них в 0, 1 и \infty, а оставшиеся три как-то ездят по некоей поверхности в \C^3. А эти точки пересечения, как их посчитаешь-то? Можно, однако, выродить секстику в объединение шести прямых. Тогда, фиксируя три из них и объвляя их 0, 1 и \infty -- то есть двумя координатными осями и бесконечно удалённой прямой -- видим, что три оставшиеся корректно определяют три двойных отношения -- равные отношению, в котором каждая из них делит отрезок, высекаемый координатными осями на подвижной прямой. Отсюда уже легко понять, что это за поверхность в \C^3. В самом деле, подпространство, параллельное координатному в этом C^3, пересекает эту поверхность по кривой, параметризующей прямые, для которых одно из трёх двойных отношений постоянно. В двойственной проективной плоскости этому соответствует следующее: на плоскости даны четыре точки, найти, какую кривую вычерчивает точка, двигающаяся так, что двойное отношение четырёх прямых, соединяющих эту подвижную точку с четыремя прибитыми, постоянно. Ответ: это коника, проходящая через эти пять точек (четыре прибитых и ту, которую мы начали двигать). Это более-менее теорема о вписанном угле: в самом деле, если две из прибитых точек это (\sqrt{-1} : 1 : 0) и (-\sqrt{-1} : 1 : 0) -- то есть пара бесконечно удалённых точек, через которые проходит всякая окружность -- то угол, возведённый с вершиной в подвижной точке на двух оставшихся, выражается как арктангенс от какого-то дробно-линейного выражения от этого двойного отношения (типа \sqrt{-1}\frac{1 + D}{1 - D}). Итак, три двойных отношения для самой вырожденной секстики в P^2 параметризуют (квази)аффинную поверхность, плоские сечения которой являются кониками. Стало быть это аффинная квадрика. Деформируясь как алгебраическое многообразие, она должна была бы сохранять степень; следовательно, если мы чуть-чуть сгладим хотя бы две прямые из нашей шестилинейной конфигурации, на квадрике это скажется в страшных неалгебраических корчах. Впрочем, если одну прямую не трогать, то эта покорёженная квадрика всё ещё будет представляться в виде стопки аффинных коник. Интересно, а можно ли вообще накрыть P^2, разветвившись в чём-то особом? Уравнение написать не проблема, но будет ли оно (частично) десингуляризовываться до особой K3-поверхности? Если да, то можно ли доказать при помощи K3-поверхностей теорему о том, что в шестиугольнике главные диагонали пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда в него можно вписать конику? post comment

Кручение и образ гауссова отображения [03 Jun 2018|05:03pm] [ mood | tired ] [ music | Sonic Youth -- Forever young ] А меня в последнее время вот такой вопрос занимает. Пусть есть многообразие X и инъективное отображение расслоений TX \to E, где E -- тривиальное расслоение с постоянной евклидовой метрикой. Это даёт на X риманову метрику и связность, получающуюся из тривиальной связности D в расслоении E как \nabla_x(y) = p(D_x(y)), где p : E \to TX -- ортогональная проекция. Если X -- подмногообразие в евклидовом пространстве, а E -- расслоение, вешающее над каждой его точкой само евклидово пространство, то так получается связность Леви-Чивиты для подмногообразий евклидова пространства (и, видимо, так она и была открыта Гауссом). В общем же случае это будет некоторая ортогональная связность, однако, с кручением. Вопрос: как понять, когда будет кручение, и какой его геометрический смысл? Это спрашиваю я вот почему. В посте, где итоговое утверждение было правильное, а все промежуточные неправильные, касательное расслоение к базе коассоциативного расслоения на \G_2-многообразии вне дискриминанта было реализовано как подрасслоение в плоском расслоении. Таким образом, на нём имеется связность, скорее всего с кручением. Если оно действительно есть, как его связать с геометрией изначального \G_2-многообразия? Связаны ли как-то это кручение и монодромия связности Гаусса-Манина, в том смысле, что можно ли получать монодромию в некотором смысле интегрированием кручения? Думая над этим, придумал следующую олимпиадную задачу. Пусть V -- ориентированное векторное пространство, \Gr_k(V) -- грассманиан ориентированных k-мерных плоскостей в V, и M \subset \Gr_k(V) -- какое-то подмногообразие. Когда существует k-мерное ориентированное подмногообразие в V, для которого M является образом гауссова отображения? Не умею до конца решать эту задачу даже для k = 1. Если M есть какой-то контур, лежащий целиком по одну сторону от какой-то большой сферы коразмерности один в сферизации S(V), то он не может быть образом гауссова отображения, потому что тогда двигаясь вдоль по окружности, образом которой он является, мы бы всегда глядели вправо от какой-то гиперплоскости, что невозможно, поскольку мы в итоге вернёмся, откуда пришли. Верно ли, что это достаточное условие? Другое достаточное условие состоит в том, чтобы выпуклая оболочка M содержала центр сферы (мы воспринимаем сферу как вложенную в V при помощи какого-то выбора евклидовой метрики на V). В самом деле, умножим M, которую мы воспринимаем как функцию на окружности с коэффициентами в V, на меру на окружности такую, чтобы интеграл этой векторнозначной функции равнялся нулю. Если такая мера существует, то первообразная такой функции задаст отображение из окружности в V с таким образом гауссова отображения. Ну а множество точек, получающихся как интеграл произведения меры на окружности на векторнозначную функцию M, совпадает с выпуклой оболочкой M по определению. В этом рассуждении заметён под ковёр такой момент: мы получали центр окружности как интеграл меры; а почему эту меру можно выбрать пропорциональной мере Хаусдорфа с коэффициентом -- гладкой функцией? Кажется, этот факт должен следовать из стандартной теории (мол, сгладим меру при помощи свёртки с функцией-шапочкой) -- но, с другой стороны, это кажется малоправдоподобным. Рассмотрим какой-нибудь контур, на котором есть две антиподальные точки. Тогда центр получается как интеграл полуразности дельта-мер в этих точках. Но если эти точки не лежат на двух антиподальных дугах, такое сглаживание представляется едва ли возможным. 4 comments|post comment

Acute sets [04 May 2017|10:53am] [ mood | cheerful ] [ music | Dulcimer -- Across The Fields ] Десятиклассник из 179-й школы нехило улучшил нижнюю оценку в задаче Данцера-Грюнбаума без использования какой-либо вероятностной комбинаторики вообще. Только теорема Пифагора. Пример конструктивный, опять же. https://arxiv.org/pdf/1705.01171.pdf Интересно, сколько ещё результатов вероятностной геометрии в духе Эрдёша можно усилить чисто матшкольными методами. Думаю, немало. По ссылке от akopjan@lj. 49 comments|post comment

Целые числа [12 Jan 2017|10:56pm] [ mood | sleepy ] [ music | Кобыла и Трупоглазые Жабы -- Жизнь моя кабанья ] Хорошо известно, что главная диагональ четырёхмерного куба вдвое длиннее его ребра. Сейчас, готовясь к экзамену по линейной алгебре, обнаружил следующее: если оба числа n и 2n+1 -- точные квадраты, то длина ребра правильного симплекса, описанного около единичной сферы в 2n-мерном евклидовом пространстве, есть целое число. Особенно красиво получается в размерности 8, эта длина равна 12. В размерности 288, например -- 408. Связаны ли с этим какие-нибудь решётки? 15 comments|post comment

navigation [ viewing | most recent entries ]