Настроение:	tired
Музыка:	Sonic Youth -- Forever young
Entry tags:	геометрия, геометрия/исключительные голономии, геометрия/элементарная

Кручение и образ гауссова отображения
А меня в последнее время вот такой вопрос занимает. Пусть есть многообразие X и инъективное отображение расслоений TX \to E, где E -- тривиальное расслоение с постоянной евклидовой метрикой. Это даёт на X риманову метрику и связность, получающуюся из тривиальной связности D в расслоении E как \nabla_x(y) = p(D_x(y)), где p : E \to TX -- ортогональная проекция. Если X -- подмногообразие в евклидовом пространстве, а E -- расслоение, вешающее над каждой его точкой само евклидово пространство, то так получается связность Леви-Чивиты для подмногообразий евклидова пространства (и, видимо, так она и была открыта Гауссом). В общем же случае это будет некоторая ортогональная связность, однако, с кручением. Вопрос: как понять, когда будет кручение, и какой его геометрический смысл?

Это спрашиваю я вот почему. В посте, где итоговое утверждение было правильное, а все промежуточные неправильные, касательное расслоение к базе коассоциативного расслоения на \G_2-многообразии вне дискриминанта было реализовано как подрасслоение в плоском расслоении. Таким образом, на нём имеется связность, скорее всего с кручением. Если оно действительно есть, как его связать с геометрией изначального \G_2-многообразия? Связаны ли как-то это кручение и монодромия связности Гаусса-Манина, в том смысле, что можно ли получать монодромию в некотором смысле интегрированием кручения?

Думая над этим, придумал следующую олимпиадную задачу. Пусть V -- ориентированное векторное пространство, \Gr_k(V) -- грассманиан ориентированных k-мерных плоскостей в V, и M \subset \Gr_k(V) -- какое-то подмногообразие. Когда существует k-мерное ориентированное подмногообразие в V, для которого M является образом гауссова отображения? Не умею до конца решать эту задачу даже для k = 1. Если M есть какой-то контур, лежащий целиком по одну сторону от какой-то большой сферы коразмерности один в сферизации S(V), то он не может быть образом гауссова отображения, потому что тогда двигаясь вдоль по окружности, образом которой он является, мы бы всегда глядели вправо от какой-то гиперплоскости, что невозможно, поскольку мы в итоге вернёмся, откуда пришли. Верно ли, что это достаточное условие? Другое достаточное условие состоит в том, чтобы выпуклая оболочка M содержала центр сферы (мы воспринимаем сферу как вложенную в V при помощи какого-то выбора евклидовой метрики на V). В самом деле, умножим M, которую мы воспринимаем как функцию на окружности с коэффициентами в V, на меру на окружности такую, чтобы интеграл этой векторнозначной функции равнялся нулю. Если такая мера существует, то первообразная такой функции задаст отображение из окружности в V с таким образом гауссова отображения. Ну а множество точек, получающихся как интеграл произведения меры на окружности на векторнозначную функцию M, совпадает с выпуклой оболочкой M по определению.

В этом рассуждении заметён под ковёр такой момент: мы получали центр окружности как интеграл меры; а почему эту меру можно выбрать пропорциональной мере Хаусдорфа с коэффициентом -- гладкой функцией? Кажется, этот факт должен следовать из стандартной теории (мол, сгладим меру при помощи свёртки с функцией-шапочкой) -- но, с другой стороны, это кажется малоправдоподобным. Рассмотрим какой-нибудь контур, на котором есть две антиподальные точки. Тогда центр получается как интеграл полуразности дельта-мер в этих точках. Но если эти точки не лежат на двух антиподальных дугах, такое сглаживание представляется едва ли возможным.