Настроение:	calm
Entry tags:	геометрия, геометрия/исключительные голономии, лытдыбр

Метрика Лиувилля-Арнольда для G_2
Вчера съездил на Брайтон-бич, привёз оттуда кулич для офисмейта-католика. Частично съели тот кулич с его женой и его французской знакомой, а потом пели псалмы.

Кажется, что придумал аналог метрики Лиувилля-Арнольда для пучков Лефшеца-Ковалёва. Пусть, действительно, есть пучок Лефшеца-Ковалёва, то есть расслоение \pi : X \to B с кой-какими вырожденными слоями, где X -- G_2-многообразие, слои коассоциативные подмногообразия, а общий слой K3-поверхность.

Лемма 1 (предположительно). Метрика на X ограничивается на слои пучка Лефшеца-Ковалёва метрикой Яу.

Давайте возьмём касательное пространство к базе в точке p, оно отождествляется с пространством нормальных векторных полей вдоль слоя X_p, параллельных относительно связности Ботта. При помощи римановой метрики его можно вложить как ортогонал к слою в ограничение касательного расслоения TX|_{X_p}, а векторное произведение отождествляет его с подрасслоением эндоморфизмов со следом 0.

Лемма 2 (предположительно). Эндоморфизм со следом 0 касательного расслоения на K3-поверхности из пучка Лефшеца-Ковалёва параллелен относительно связности Леви-Чивиты тогда и только тогда, когда он является векторным умножением на нормальное поле, параллельное относительно связности Ботта.

Лемма 3 (предположительно). Эндоморфизм со следом 0, параллельный относительно связности Леви-Чивиты метрики Яу на K3-поверхности, пропорционален оператору комплексной структуры, согласованной с метрикой Яу.

С другой стороны, такой оператор, то есть линейная комбинация стандартных операторов I, J, K -- это то же самое, что параллельная 2-форма. Таким образом, касательное расслоение к базе пучка Лефшеца-Ковалёва (вне особых слоёв) канонически изоморфно подрасслоению ранга 3 в R^2\pi_*(\R), состоящему из форм, параллельных относительно связности Леви-Чивиты (то есть форм, пропорциональных кэлеровой для какой-нибудь комплексной структуры, согласованной с гиперкэлеровой структурой).

Если бы я не был лодырем и слушал курс tiphareth по теории структур Ходжа, то я бы заключил сразу отсюда, стурктуру какой кривизны это определяет на базе. Кажется, что кривизны -1. А может вообще одна из трёх лемм неправильная. Но не очень похоже.