зачем ты умер, иван

И да, я на всякий случай развею миф о том, что для физика тензор - это некоторая свистопляска с расположением индексов. Все таки определение дифференциальной формы, (ко)касательного пространства, функтора - не то, что нельзя понять менее чем за час. Эллиптические кривые тоже косвенно или явно встречаются. С теорией Галуа и расширением полей/колец уже сложнее, но их понимание дает очевидные преимущества, так что заставить стороннего наблюдателя понять, что это, несложно. Эйлерова характеристика и формула Римана-Гурвица - вещи довольно наглядные на примерах, без особой необходимости выводить их не надо. Соответствие универсального накрытия и пространства - вещь жизненно важная, так что никто ничего против рассмотрения этих задач иметь не будет.

Поэтому я предполагаю, что интуиция - вещь универсальная, у всех одинаковая. Поэтому ее можно легко передать, в отличие от. Как я понял, когда говорим "зачем это нужно?", подразумеваем "зачем это нужно математику?". Там уже играют роль технические детали, связанные с решением конкретной проблемы (доказать непроверенные факты). Однако если я спрашиваю "зачем это нужно?", то подразумевается, что я могу где-то использовать эти понятия и факты. И уже я должен отвечать на этот вопрос, возможно вместе с Вами. Поэтому "зачем это нужно?" не так значительно в объяснении, если речь идет о том, что "это для того, чтобы лучше понять такую-то область математики". Интересно "здесь и сейчас". Если я спросил, значит действительно было нужно (я конечно не хочу, чтобы Вы тратили свое время на объяснение, просто на всякий случай). Поэтому, если возникло желание пояснить, а потом пропало, не стоит бросать затею только потому, что "зачем это нужно, все равно не сформулирую".

Приходят к знаниям все разным путем, конечно, однако в природе встречаются объекты, которые наглядно подходят для демонстрации того или иного свойства.
Если мы вспомнили про Фейнмана, то было бы хорошо поговорить о том, как формализовать передачу сигналов в микросхемах, архитектуре процессора, организации памяти и роли посетов в ней, но это вещь не такая универсальная, довольно-таки разнообразная и не очень удобная. Изучение Фейнманом микросхем повлияло на его идеи о фейнмановских диаграммах и интеграле. Сами по себе фейнмановские диаграммы и интеграл могут служить даже более удачным объектом для формализации, но в этом поле сломано не мало копий.

Рассмотрю-ка вот такой пример: нейронные сети. То, о чем Вы упомянули, наиболее близко реализуется в них. Как искусственная конструкция они слизаны с настоящих нейронных сетей. Каждая нейронная сеть состоит из более или менее одинаковых объектов - клеток - но со множеством свойств, которые делают их разными. Очень удобно для иллюстрации категории.

Нервная клетка - волосатая клетка со множеством отростков - дендритов - и одного большого - аксона. По ним осуществляется передача сигналов, аксон особенно длинный, и по нему сигнал идет особенно быстро за счет миелиновой оболочки. Дендриты и аксоны могут соединятся между собой, образуя сложную сеть: клетка может иметь десятки тысяч дендритов, счет самих клеток в человеческом мозге идет на многие миллиарды. В такой системе можно уже и экспериментально разглядеть переход от дискретного к непрерывному.

Но начнем с того, что уже на этом уровне абстракции там в общем-то практически отсутствует дискретизация сигналов. Сигнал - это изменение поляризации мембранной стенки нейрона и его отростков. Внутри и снаружи клетки содержится жидкость, содержащая разные концентрации ионов Na+, K+, Ca++ и тп. Разность концентраций внутри и снаружи клетки поддерживается тем, что стенка клетки имеет естественную поляризацию, потому что ее молекулы полярны. Свою полярность они могут каскадно менять, передавая таким образом сигнал. Перенос ионов через мембрану осуществляется по многочисленным каналам, сам перенос зовется насосом (например натрий-калиевый насос), но это все лишь частные случаи того, что там происходит. Основной процесс - это обмен нейромедиаторами - специальными веществами, которые активируют рецепторы - вид каналов, которые могут специализироваться на пропускании тех или иных ионов или молекул. В месте соединения дендритов и аксонов образуется синапс, в котором концентрация различных нейромедиаторов, их ингибиторов и активаторов особенно высока. Туда они доставляются изнутри клетки, где и производятся. Можно добавить их фармакологически.

Так вот мысль - это очень интересная штука, состоящая из вполне регистрируемых, зачастую дискретных сигналов, а именно возбуждений (отклонений от средней поляризации) отдельных участков мозга. Все вместе клетки по тем или иным причинам накапливают потенциал (положительный или отрицательный), распределяют его между друг другом по соединениям (сейчас можно предположить, что соединения фиксированные) и дифференцируют его по типу. В синапсах часто изменяется сигнал скачкообразно, что делает его вполне дискретным, как в АЦП. Этому предшествует накопление "информации" в клетке за счет изменения потенциалов соседей. Потенциал может быть не только электрический, напомню, но и в каком-то смысле химический - концентрация нейтральных молекул тоже может меняться.

Вся эта система в итоге может быть доведена до абстрактной нейронной сети (наверное это что-то вроде forgetful functor, поскольку система теряет многие свои специфические структуры))), в которой мы сохраним основные жизненно важные свойства. Если мы посчитаем мысль чем-то дискретным, то она будет иметь схожесть с обратным пределом - стрелочки сходятся в одном сложном возбуждении (которое само по себе какая-то прямая сумма объектов и связей между ними, да и вообще это просто диаграмма) через сложный поток процессов, который так же может быть абстрактно выражен во взаимодействии отдельных мыслей. Добавим обратную связь и возможность убирать возбуждения - получим рабочую модель памяти и мышления.

В принципе в реальном мире очень много объектов, к которым можно относится одновременно как к графам, так и к непрерывным структурам, где можно в полной мере реализовать девиртуализацию многих понятий. Тот же полупроводник будет устроен не менее удивительным образом, но при этом будет достаточно универсальным, чтобы все думали про него одинаково. Само по себе фундаментальное понятие типа времени всегда рассматривается физиками как отображение, но что интересно, сейчас много теорий, в которых пространство-время является emergent (эмергенция, тащемто), получается как совокупность многих "процессов" термодинамической природы, примерно, как я описал выше с нейронами - сначала какие-то отдельные молекулы куда-то идут, как-то поляризуются, а затем всей толпой формируют сложную структуру из непрерывных величин. Физикам знаком Виковский поворот (http://en.wikipedia.org/wiki/Wick_rotation), который переводит время в обратную температуру, но в формулах при этом ничего не меняется, кроме того, что мы пишем перед временем не корень второй степени из единицы, а корень четвертой. То есть одну пару стрелок на плоскости меняем на четверку других стрелок.

Во всех этих рассуждениях какой-то "лишний" тип умножения может оказаться полезным.

Эффект, который Вы упомянули, - возрастание частоты встречаемости слова "расслоеное произведение" - может быть объяснен как побочное явление того, что сия структура оказалась удобна во многих областях математики и вне ее пределов. То есть важность понятия определяется не частотой его встречаемости, что вторично, а заинтересованностью различных представителей фауны в нем, что первично. Первичным же по отношению к заинтересованности является факт обнаружения нового явления (будь то мысленное явление, как в математике, или реальное, как в естественной науке) и путей его описания.