[Recent Entries][Archive][Friends][User Info]
| June 26th, 2009 | ||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 10:01 pm [Link] |
Гомотопическая теория графов Удивительное рядом. Bisson и Tsemo опубликовали статью, в которой они вводят нетривиальную модельную структуру на топосе ориентированных графов. Категория ориентированных графов определяется как категория предпучков множеств на категории, состоящей из двух объектов и двух параллельных стрелок между ними. В частности, эта категория образует топос. Более удивительно, что на этом топосе можно ввести нетривиальную кофибрантно порождённую модельную структуру. Расслоениями в этой структуре будут морфизмы графов, индуцирующие для каждой вершины и её образа сюръекцию на множестве выходящих из них рёбер. Корасслоениями будут вложения, получающиеся путём приклеивания к графу путём толчка нескольких деревьев, растущих от корня. Наконец, слабыми эквивалентностями будут морфизмы, индуцирующие биекцию на множестве циклов. В этой модельной структуре граф будет фибрантным, если у него нет тупиков — вершин, из которых не выходят рёбра. Кофибрантный граф — это в точности копроизведение произвольного набора конечных циклов, к которым приклеены путём толчка несколько деревьев, растущих от корня. Кофибрантной заменой будет копроизведение всех циклов в графе с очевидным морфизмом в этот граф. У категории графов есть важная цепочка подкатегорий: полная подкатегория графов, у которых из каждой вершины выходит ровно одно ребро, у которой есть полная подкатегория графов, у которых в каждую вершину входит ровно одно ребро, у которой есть полная подкатегория дискретных графов: у каждой вершины есть петля. Между этими категориями есть несколько пар сопряжённых функторов, которые не являются гомотопическими, но являются функторами Квиллена, и у них есть тотальные производные функторы, вычисляющие нетривиальную информацию. А вот забавная теорема: два конечных графа гомотопически эквивалентны в том и только в том случае, если они почти изоспектральны, что равносильно совпадению дзета-функций этих графов. Tags: математика | |||||||||||||||||||||||||||
| Comments | ||||||||||||||||||||||||||||
Прикольная ссылочка... Есть такая идея (Серр, Ивасава, Рибес, Залесский, Мельников)- построить проконечную теорию Басса-Серра. Это полезно для конструирования абсолютных групп Галуа, исходя из подгрупп разложения (см. Нойкирх, Шмидт, Вингберг"Когомологии Галуа алгебраических числовых полей"). Только тут проконечный граф- это предпучок проконечных пространств, далее можно аналогично определить проконечный граф проконечных групп, его фундаментальную группу- через толчок :-). Там возникает одна проблема- не ясно, как найти замену понятия максимального связного проконечного поддерева. Было у меня подозрение, что тут тоже нужна какая-то (ко)фибрантная замена- надо будет как-нибудь почитать эту статейку. лююопытно было бы увидеть реальные приложения этой "экзотической" модельной структуры---доказательство или даже переформулировка, переизложение чего=нибудь про графы на этом языке. пример, который они приводят, все-таки пока не слишком интересен ини недоделан---или я просто его не понимаю).
Вряд ли категория ориентированных графов может оказаться топосом. (Reply to this) (Thread)
Что значит — может оказаться? Категория ориентированных графов — это топос предпучков множеств на категории, состоящей из двух объектов и двух параллельных стрелок между ними. (Reply to this) (Parent) | ||||||||||||||||||||||||||||
![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo-lj.gif){kind=small}
![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small}