Тридцать страниц на введение псевдо-дифференциальных операторов -- это, по-моему, только в книге Шубина, где все делается в максимальной общности и с максимальным занудством. Обычно на все про все уходит страниц 15 (уже с независимостью от координат и построением параметрикса). См., например, первую главу книги Gilkey, Ivariance Theory, the Heat ...

Совсем без координат, к сожалению не обойдешься. Действительно есть несколько не вполне эквиавлентных версий, но, на сколько я понимаю, за стандарт принято определение Хермандера (оно же в книгах Шубина и Трева). Кондовые аналитики обычно все пишут для пространсва символов зависящего от двух параметров (\rho,\delta). Для всех практических целей достаточно пространсва (1,0), которые только и надо вводить. Я не призываю учить псевдо-дифференциальные операторы в общих курсах. Но прежде, чем учить D-модули, по-моему, надо получить представление о не полиномиальных символах и параметриксах.

Уравнения матфизики, конечно, не надо учить по Тихонову и Самарскому. У нас в этом курсе вводились обобщенные функции, Соболевские пространсва и было много общих теорем. По-моему, все студенты-математики должны увидеть несколько основных примеров PDE (волновое уравнение, уравнение теплопроводности, ...,) и их основные свойства. Должны знать, что такое граничная задача что она не всегда имеет решение и решение не всегда единственно. Должны знать про эллиптические и параболические уравнения и об их отличиях. Должны увидеть 2-3 метода явных решений и узнать, что явные есть не всегда. Должны услышать о спец-функциях. Должны узнать об обобщенных функциях и слабых решениях. Из всего этого может получится отличный семестровый курс. Кстати у Шубина есть очень разумный учебник урматов.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Из всего этого может получится отличный семестровый курс.

Да-да, я как раз такой читаю следующей весной для
второкурсников. Воспроизведу синопсис, для понятности

``Эллиптические операторы и спектральная теория``

0. Расслоения, векторные поля, комплекс де Рама, разбиение
единицы.

1. Дифференциальные операторы.
Символ дифференциального оператора. Оператор Лапласа.

2. Эллиптические операторы. Слабый принцип максимума.
Гармонические функции.

3. Гильбертовы пространства. Теорема Рисса о компактности
единичного шара.

4. Пространства Соболева. Лемма Реллиха и лемма Соболева.

5. Фредгольмовы операторы. Спектральная теорема для
самосопряженных компактных операторов.

6. Спектральное разложение для оператора Лапласа на
окружности.

7. (*) Спектральное разложение для оператора
Лапласа на сфере.

8. (*) Связность, кривизна, формула Вайценбека.

9. (*) Оператор Грина. Спектральное разложение для
оператора Лапласа на римановом многообразии.

От слушателей желательно знакомство с понятием многообразия,
векторного расслоения, разбиениением единицы, комплексом де
Рама, леммой Пуанкаре. Части 7-9 будут в сокращении (в зависимости
от подготовки студентов - если никто не знает, что есть
связность и кривизна, у нас немного шансов рассказать им
формулу Вайценбека и теорию Ходжа, если никто не знает
элементарную теорию представлений, про спектральное
разложение на сфере тоже не получится).

Но внутреннее определение псевдодифференциальных
операторов должно быть, просто не придумали.

Что до приведенной выше программы, если добавить
к ней теорию Ходжа (включая параметрикс), теорему об
индексе, регулярность решений, уравнения Монжа-Ампера
(Погорелов, Яу) и сильный принцип максимума для
операторов второго порядка, обязательная программа
PDE этим должна исчерпываться.

Что занятно - пересечений с тем, что читают на мехмате,
у мною приведенного выше просто нет, даже "фредгольмовых
операторов" там не рассказывают.

Что до граничных условий, то это бред какой-то - есть
задача Лиувилля, есть \bar\partial-проблема Ноймана,
есть решения Бедфорда-Тэйлора, но никаких общих решений
к подобным задачам нет, и осмысленных общих принципов
тоже нет, соответственно, лучше не упоминать вовсе,
иначе можно скатиться к унылому говну вроде трудов
мехматских профессоров.

Ну и естественно,
геометрический анализ включает в себя много гитик,
локальную разрешимость потока Риччи, \lambda-инвариант
Перельмана, оценку собственных значений Лапласа, формулу
следа Сельберга и прочее, что есть в учебнике Яу-Шоэна, но
это надо выделить в отдельный курс.

Такие дела
Миша

(Reply to this) (Parent)