>Из всего этого может получится отличный семестровый курс.

Да-да, я как раз такой читаю следующей весной для
второкурсников. Воспроизведу синопсис, для понятности

``Эллиптические операторы и спектральная теория``

0. Расслоения, векторные поля, комплекс де Рама, разбиение
единицы.

1. Дифференциальные операторы.
Символ дифференциального оператора. Оператор Лапласа.

2. Эллиптические операторы. Слабый принцип максимума.
Гармонические функции.

3. Гильбертовы пространства. Теорема Рисса о компактности
единичного шара.

4. Пространства Соболева. Лемма Реллиха и лемма Соболева.

5. Фредгольмовы операторы. Спектральная теорема для
самосопряженных компактных операторов.

6. Спектральное разложение для оператора Лапласа на
окружности.

7. (*) Спектральное разложение для оператора
Лапласа на сфере.

8. (*) Связность, кривизна, формула Вайценбека.

9. (*) Оператор Грина. Спектральное разложение для
оператора Лапласа на римановом многообразии.

От слушателей желательно знакомство с понятием многообразия,
векторного расслоения, разбиениением единицы, комплексом де
Рама, леммой Пуанкаре. Части 7-9 будут в сокращении (в зависимости
от подготовки студентов - если никто не знает, что есть
связность и кривизна, у нас немного шансов рассказать им
формулу Вайценбека и теорию Ходжа, если никто не знает
элементарную теорию представлений, про спектральное
разложение на сфере тоже не получится).

Но внутреннее определение псевдодифференциальных
операторов должно быть, просто не придумали.

Что до приведенной выше программы, если добавить
к ней теорию Ходжа (включая параметрикс), теорему об
индексе, регулярность решений, уравнения Монжа-Ампера
(Погорелов, Яу) и сильный принцип максимума для
операторов второго порядка, обязательная программа
PDE этим должна исчерпываться.

Что занятно - пересечений с тем, что читают на мехмате,
у мною приведенного выше просто нет, даже "фредгольмовых
операторов" там не рассказывают.

Что до граничных условий, то это бред какой-то - есть
задача Лиувилля, есть \bar\partial-проблема Ноймана,
есть решения Бедфорда-Тэйлора, но никаких общих решений
к подобным задачам нет, и осмысленных общих принципов
тоже нет, соответственно, лучше не упоминать вовсе,
иначе можно скатиться к унылому говну вроде трудов
мехматских профессоров.

Ну и естественно,
геометрический анализ включает в себя много гитик,
локальную разрешимость потока Риччи, \lambda-инвариант
Перельмана, оценку собственных значений Лапласа, формулу
следа Сельберга и прочее, что есть в учебнике Яу-Шоэна, но
это надо выделить в отдельный курс.

Такие дела
Миша

(Reply to this) (Parent)