Часть ответа на комментарий содержится в обновлении к посту.

В некоторых сферах деятельности, вроде вождения за рулём, человек
работает только на рефлексах (это научно доказано), мозг здесь, конечно же, не привлекается,
и не должен привлекаться.

>Лично мне, к примеру, достаточно сложно бывает пройти какую-либо теорию без рассмотрения примеров ее работы.
Несомненно, большим мотивирующим факторов при изучении теории
является возможность применять её к чему-либо. При этом вовсе
не обязательно заниматься синтаксической математикой, наоборот,
будет гораздо лучше, если примеры будут содержательными.

>К примеру, интегрирование большого числа функций помогает понять и поверить в саму концепцию интегрирования.
А ещё лучше понять интегрирование можно путём применения его в различных осмысленных задачах.

>Вообще, под доказательством обычно понимается что-то вроде вывода в СИПР из аксиом ZFC.
Это совершенно неверно. В наше время под доказательством понимается
текст на естественном языке, удовлетворяющим разумнынм в данной области
критериям строгости. К сожалению, в настоящее время нет ни одной системы
компьютерной проверки доказательств, на которой можно было бы
за разумное время записать доказательство какой-нибудь современной
теоремы, вроде теоремы Фалтингса. Поэтому разговоры о формальных
доказательствах — это из области будущего. Я, кстати, надеюсь,
что такие системы будут созданы.

>В некоторых базовых случаях, как, например, в случае умножения в столбик, вообще неясно, почему доказательство его правильности будет полезно.
Я уже привёл примеры доказательства базовых фактов, вроде коммутативности умножения. Их тоже надо обосновывать. Любой ли выпускник сможет доказать, или хотя бы обосновать ассоциативность натуральных чисел?

>Ведь концепцию умножения можно понять и без доказательства.
Я не понимаю, причём здесь доказательства. Определение это не доказательство.
Концепцию умножения можно понять, выстраивая яблоки в ряды.
Позиционную систему счисления при этом знать совершенно не обязательно.

>Кроме того, "очевидных" явно нигде не доказанных фактов достаточно много. Например, можно попробовать доказать, что сумма произвольного числа слагаемых абелевой группы не зависит от порядка. Еще лучше - доказать, что для любой числовой последовательности существует последовательность ее частичных сумм. Доказательство этого факта может отнять определенное время, но непонятно, какую пользу оно принесет.

Как я уже указаывал, для доказательства следует применять критерии строгости, разумные в данном контексте.
Эти разрешает все такие вопросы.

>Гораздо в больших количествах нужны люди, которые способны выполнять алгоритм, не задумываясь о его правильности.

Такие люди называются быдлом. Мне кажется, одной из целей школы должен
быть выпуск как можно большего количества мыслящих людей и как можно меньшего количества быдла.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Насчет изменения системы образования в школе - это было бы замечательно, если найти тех, кто это сможет преподавать во всех школах. С преподаванием концепций вообще большая проблема: даже иные студенты (мехмата!) не понимают не то что иных концепций или доказательств, а того, зачем нужно вводить какие-то новые понятия и доказывать, казалось бы, очевидные вещи. Пример такого непонимания: зачем вводить понятие конечномерного векторного пространства, если оно и так изоморфно R^n, не проще ли просто всегда исследовать конечные наборы чисел, вместо операторов брать матрицы, а тензоры заменять мультииндексными выражениями? Другой пример: какая разница между шаром и множеством, содержащим шар, при рассмотрении топологии метрического пространства? Я, честно говоря, не знаю, почему так происходит: потому ли, что люди в принципе не способны этого понять или потому, что их этому не научили в школе. Быть может, если изменить школьную систему, хотя бы среди студентов мехмата ситуация улучшится.

Насчет доказательства коммутативности умножения. Цитирую:
> Как я уже указывал, для доказательства следует применять критерии строгости, разумные в данном контексте. Эти разрешает все такие вопросы.
Какие критерии строгости должны предъявляться к доказательству этой самой коммутативности? Я пока вижу два способа. Первый: разрешить доказательство типа "упорядочим яблоки в прямоугольник, а на него, что снизу смотри, что сбоку, количество яблок одно и то же". Второе: строгое с точки зрения мат. логики. Но тогда надо строго определить умножение натуральных чисел, например, с помощью модели Пеано, и доказывать по индукции. (Это, кстати, не очень сложно, как только мы получаем определение.) Однако не выглядит ли последний способ обоснования несколько перевернутым с ног на голову? Может быть, есть третий способ обоснования, который я упустил?

Насчет того, какие люди нужны обществу - моя личная позиция по этому вопросу другая, но подробно обсуждать его не хотелось бы. Как показывает опыт, обсуждения таких темы столь же неконструктивны, как обсуждения политических или религиозных тем. Естественно, компетентным в вопросах того, что нужно обществу, я себя не считаю.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Насчёт векторных пространств всё сразу проясняется сразу в двух случаях:
во-первых, если мы используем в изложении язык категорий (так и надо делать),
во-вторых, если мы рассматриваем векторные расслоения.
Для векторных расслоений сразу видно, что пространство и двойственное к нему --- это совершенно разные вещи.
Кроме того, сразу видно, что хотя локально координаты на векторном расслоении ввести можно, глобально это сделать нельзя (не все расслоения тривиальны).
Так проясняется вся линейная алгебра.
Кстати, если не нравятся расслоения, тоже
самое можно сказать на языке модулей, то есть
более алгебраично. Модуль и двойственный к нему --- это совершенно разные вещи.
Что касается категорий, то, скажем, мы сразу видим, что пространство и двойственное к нему --- это разные штуки, потому что соответствующий функтор контравариантен.

>Другой пример: какая разница между шаром и множеством, содержащим шар, при рассмотрении топологии метрического пространства?

Разница в удобстве. У шара нет особого концептуального смысла, у окрестности есть.
Если мы говорим, что некоторое свойство выполняется для всех точек, близких к данной,
то такие точки образуют окрестность данной точки.
Например, непрерывные функцию определяются так:
если x близко к x_0, то f(x) близко к f(x_0).
В переводе на окрестности это звучит так:
прообраз окрестности f(x_0) есть окрестность x_0.
С шарами так не получится.

>Первый: разрешить доказательство типа "упорядочим яблоки в прямоугольник, а на него, что снизу смотри, что сбоку, количество яблок одно и то же". Второе: строгое с точки зрения мат. логики.

На самом деле, доказательство коммутативности
умножения путём расположения яблок в ряд вполне строгое. Ведь по сути мы просто ссылаемся на тот факт, что произведение множеств X и Y равномощно произведению множеств Y и X, который устанавливается тривиальной биекцией, которая
наглядно отображается как симметрия относительно биссектрисы координатного угла.

Натуральное число --- понятие интуитивно теоретико-множественное, это конечное кардинальное число, класс эквивалентности конечных множеств относительно равномощности.

Впоследствии, когда школьники изучат теорию множеств, они сразу увидят, что такое доказательство коммутативности является абсолютно строгим.

Матлогика в данном случае изучает некоторые системы, удовлетворяющие аксиомам Пеано.
Эти аксимы являются очевидными свойствами натуральных чисел, однако неочевидно, почему
других свойств у натуральных чисел нет.
Теоретико-множественное определение в этом смысле естественно и опирается на практику.
С педагогической точки зрения, матлогика в данном случае изучает совершенно новые объекты, полученные в результате абстрагирования некоторых свойст теоретико-множественной модели.
(В логике первого порядка это так и есть --- достаточно взять нестандартные модели арифметики Пеано.)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

В принципе, можно пытаться обосновать полезность векторных пространств так, как написано выше, например через векторные расслоения. Однако лично мне сделать это эффективно так и не удалось, потому что возник другой вопрос: а зачем нужны векторные расслоения? Можно сказать, что они помогают в алгебраической топологии разделять разные пространства, но тогда спросят, а зачем надо различать эти пространства? Зачем вообще исследовать пространства в размерности, большей 4? (Про категории и модули ситуация аналогичная.)

Поэтому сначала приходится объяснять, зачем вообще нужна математика и как она работает. И это действительно лучше сделать в школе, иначе попытки объяснить что-то конкретное потом могут не увенчаться успехом.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ну, векторные расслоения совершенно ясно зачем нужны.
Есть касательное и кокасательное расслоение, расслоение дифферециальных форм.
Дифференциальные формы повсеместны в физике.
Например, в уравнениях Максвелла: dF = 0, d*F= 4πj. Здесь, кстати, видно, зачем нужна внешняя алгебра и звезда Ходжа.
В механике ни одного определения нельзя дать без дифферециальных форм.
То же в теории относительности.
Вообщей во всей физике.
В струнах плюнуть нельзя, чтобы не попасть в какое-нибудь векторное расслоение.
(В струнах, кстати, используется весьма продвинутая теория векторных расслоений, топологическая К-теория.)
В общем, при изучении современной физики
шагу нельзя ступить без векторных расслоений.
Полезность физики очевидна.

В самой математике тоже самое.
Многомерный анализ, который идёт после производных и интегралов — более правильно называть его, наверное, теория многообразий,
векторные расслоения играют там первоочередную роль.

По поводу модулей. Модуль над чем-нибудь — это представление этого чего-нибудь.
В принципе, можно говорить о представлениях и без использования модулей, но язык модулей упрощает дело.
Представления являются одной из важнейших областей математики.
В физике без представлений нельзя шагу ступить.
Например, элементарная частица — это неприводимое представление некоторой группы.

Модули над коммутативными кольцами также чрезвычайно важны.
Без них невозможно представить себе алгебраическую геометрию.

Простанства размерности большей 4 вообще встречаются повсеместно. Особенно в физкие (число 4, по-видимому, оттуда взято?).
Без них невозможно представить даже простейшую область физики — механику.
Я уже не говорю о более продвинутых областях, вроде физики высоких энергий.

Ну а про категории и говорить нечего.
Без них просто невозможно представить себе современную математику.

(Reply to this) (Parent)

Вроде бы , Арнольд тоже не особо понимает, зачем бывают нужны новые абстрактные понятия.:) Наверное, в Москве это плохо объясняют.:)

(Reply to this) (Parent)

http://baaltii1.livejournal.com/198675.html

(Reply to this) (Parent)