Теперь что касается вопроса про среднюю линию.
С практической точкии зрения, школьный курс геометрии почти полностью бесполезен,
исключая теорему Пифагора и ещё пару столь же простых вещей.
С точки зрения практических умений он также бесполезен,
так как при решении геометрических задач развивается довольно специфичная техника,
которая потом особо не нужна. В алгебре ситуация с этим обстоит лучше.
Многие люди имеют такое мнение, что школьная геометрия нужна для развития
умения доказывать. Я согласен с тем, что единственная польза от геометрии
заключается именно в этом. Однако непонятно, почему другие разделы математики не подходят
для той же цели. На мой взгляд, алгебра способна справиться с этим гораздо лучше,
потому что в ней больше разноообразия.

У школьного курса геометрии есть большая проблема — он создаёт у школьников иллюзию
строгости там, где её нет. Им кажется, что все теоремы выводятся из аксиом, однако
это совершенно неверно. Беглый взгляд на любой школьный учебник геометрии выявляет
очевидную неполноту указанной там системы аксиом.

На самом деле, первую строгую систему аксиом геометрии в духе Эвклида
дал Гильберт в 1899 году. Пуанкаре заметил, что эта система аксиом
не полна, после чего Гильберту пришлось добавить ещё одну аксиому.
Гильберт и Пуанкаре — два самых крупных математика конца 19 и начала 20 века.

Не удивительно, что в школьных учебниках геометрии до сих пор творится такое безобразие.
Фактически, это подрывает саму идею обучения доказательствам.
То, что делают в школьной геометрии, на мой взгляд называется убедительным рассуждением,
а не доказательством.

Шень про это подробно написал в свой книжке.

Читай также мою дискуссию про школьную геометрию.

На мой взгляд, было бы разумно определить плоскость как множество пар рациональных чисел,
точку как пару рациональных чисел, а прямые задавать параметрически.
Тогда можно развить значительный осмысленный кусок геометрии, связанный с точками,
прямыми и составленными из них фигурами, доказывая при этом все утверждения.
Потом можно будет определить конические сечения и отметить, что окружность и прямая
не всегда пересекаются, даже если расстояние до прямой меньше радиуса.
Это служит основанием для замены рациональных чисел на вещественные.

Во всяком случае, так устраняются бессмыслицы вроде неопределяемых понятий и недоказываемых
утверждений (аксиом). Ведь в математике нет неопределяемых понятий — все
понятия определяются, и нет недоказываемых утверждений (аксиом) — есть лишь
определения. Подробнее об этом написано в моей дискуссии на тему школьной геометрии,
ссылка на которую дана выше.

Что касается геометрий постоянной (ненулевой) кривизны, которые ты упомянул,
то мне кажется, что это уже всё-таки следующий уровень абстракции.
Даже если изучать гиперболическую плоскость в модели верхней полуплоскости,
это уже будет посложнее обычной плоскости.

Тот факт, что одни и те же аксиомы (определения) могут задавать разные объекты,
был, по-видимому, в своё время большим концептуальным прорывом.
Однако в настоящее время такая ситуация имеет место в математике повсеместно.
Собственно говоря, именно с переходом от изучения однозначно заданных объектов
к изучению объектов, удовлетворяющих некоторым аксиомам (определениям) я и связываю
переход от концепции аксиом к концепции определения.
Собственно говоря, термин аксиома теперь является чисто историческим и означает тоже самое,
что и определение.
Есть, например, аксиомы теории множеств, но они, по сути, являются определениями.
Мы имеем разные теории множеств в зависимости от того, принимаем ли мы или отвергаем
аксиому выбора или континуум гипотезу.

Единственная вещь, которая приходит на ум — аксиомы логики первого порядка,
в том случае если мы используем их для построения математики.
Однако это резко расходится с практикой — пока что никто не построил существенного
куска математики в логике первого (или второго порядка).
А уже сами теоремы про логику первого порядка (полнота и другие)
уже опираются на определение логики первого порядка
как некоторого математического объекта (системы вывода).

(Reply to this) (Parent)