Дима, привет.
Мне очень интересен твой пост, так как я непрерывно думаю об этих вопросах.
Я не могу ответить на все это сразу; мне нужны как минимум сутки для более-менее удовлетворительного ответа.

1. На этот пост трудно отвечать, так как в нем смешаны несколько тем: проблемы начального образования, проблемы высшего образования, проблемы высшего образования на западе, цели образования, механизмы получения знаний и т. д.

2. О Реформе Образования.
2а. Некоторые из твоих предложений разумны и я их поддерживаю и успешно реализую.
- Преподаванием занимаются реальные люди.
- Люди, которые высоко компетенты в математике, высоко компетентны в преподавании и настолько заинтересованы в преподавании, чтобы посвятить этому массу времени и сил - таких людей единицы на всей планете.
Как правило, люди либо разбираются в предмете только до какого-то предела, либо они заняты исследованиями и не умеют преподавать этот предмет, либо умеют, но им это не так уж и интересно.
=> те из твоих методологических замечаний, с которыми я согласен (далеко не со всеми), практически не очень осмысленны без понимания того, откуда взять таких преподавателей.

3. ЛЮДИ очень разные. Разным людям - разные стратегии. По моему опыту, людей, мышление которых на твое мышление, ничтожно мало. Такие люди, как ты, учатся сами. Им надо только не мешать. Тебе и не мешали! Я лучше учусь сам, но в последнее время научился учиться и от других. Другие студенты гораздо лучше воспринимают знания от других, и система образования нужна для них, а не для тебя. (На таких, как ты да я, никаких систем не напасешься, одни исключения, так что систему тут ругать нечего.)

4. Насчет доказательств и быдла - скажем, в тех же Штатах, где мы оба сейчас находимся, люди получают многопрофильное образование. Если я, допустим, захочу дополнить свое образование, взяв вводный курс по химии, я буду рассчитывать получить некую базовую эрудицию, некое понимание общих принципов, и т. д. И мне безразлично, что (по большому счету) я не буду понимать химию, как ее понимают химики. Кто-то назовет такое образование "синтаксическим". Я бы не стал.

4а. Образование в Америке гораздо лучше, чем кажется. Да, на первый взгляд здесь много формализма и т. д. Но здесь, кажется, почти каждый третий американец имеет университетское образование (college degree, бакалавра, например). Их можно учить "пониманию", но не тому, которую бывает у меня, или тому, которое бывает у тебя. Им это не нужно. Они не будут этому учиться. У них своя жизнь.
Люди учатся думать, изучая математику, даже не рефлексируя самостоятельно о математике.
Я сейчас преподаю линейную алгебру второму курсу с достаточно низкой средней подготовкой - они хорошие студенты и их можно многому научить, но это нужно делать постепенно. Иначе они перестанут пытаться думать вообще и будут только все заучивать.

5. Я согласен, что, возможно, учиться брать интегралы и решать диффуры руками (кроме десятка совсем классических) в наше время может быть и бессмысленно. Я недавно обсуждал это - что раньше изучали много интегралов так как не было компьютеров. А теперь лучше изучать линейную алгебру, так как на ней основаны все приложения, и в приложениях как раз нужно некое понимание.



6. Про среднюю линию и аксиомы геометрии - я категорически не согласен. R^2 - это всего лишь одна из моделей аксимо геометрии, и то, что верно в этой модели, не обязательно верно в любой, как ты, наверное, знаешь.

Вообще, в пространстве неположительной кривизны средняя линия не больше половины основания, а неотрицательной - не меньше. Значит, доказательство должно работать только для Евклидовой геометрии - например, использовать пятый постулат :)

(Reply to this) (Thread)

Конкретно про Литмо.

Могу еще сказать, что когда я изучал, скажем, Рыжкова или Додонова, я делал это в большой степени формально. На первом курсе у меня не было вообще никакого понимания, и я даже не пытался ничего понять. Я честно заучивал доказательства наизусть, так как не знал, что еще с ними делать :) в этом смысле, наверное, мне бы помогло, если бы мне объяснили, что можно применять голову. По-моему, они никогда не упоминали слово "понимать".

Еще, например, наш курс не учили тому, что такое, например, градиент, однако это активно использовалось. Я до того, как прочитал здесь соответствующий курс, вообще никогда на слышал (и не подозревал), что скалярное произведение градиента на направление дает производную в данном направлении.

Я тогда плохо умел формулировать вопросы. Например, я не понимал значение символа "^" в определении дифференциальных форм, но не задумывался, что это можно спросить или узнать. Теперь я умею формулировать вопросы. Но я же не средний студент...

Кстати, я никогда не отрабатывал никакие механические математические процедуры. Точнее, когда я читал здесь диффуры, я прорешал все домашние задания, и выяснил, как плохо я до этого умел интегрировать по частям :) Но мне такие вещи помогают довольно слабо. Точнее, мне помогает решить несколько примеров, а потом подумать о них подольше.

Но студентам это помогает, я это точно вижу. Практика вырабатывает у них интуицию и потом помогает им что-то объяснить. Моя интуиция, в значительной степени, развилась от решения олимпиадных задач (в частности, по программированию), а им что делать?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Но студентам это помогает, я это точно вижу. Практика вырабатывает у них интуицию и потом помогает им что-то объяснить. Моя интуиция, в значительной степени, развилась от решения олимпиадных задач (в частности, по программированию), а им что делать?

А я что, отрицаю, что практика развивает интуцию?
При изучении математики можно и нужно решать задачи, которые предложены в учебники.
Я, во всяком случае, всегда так делаю.
Именно задачи, а не тупые вычислительные упражнения!
В которых требуется понимание.

>Могу еще сказать, что когда я изучал, скажем, Рыжкова или Додонова, я делал это в большой степени формально. На первом курсе у меня не было вообще никакого понимания, и я даже не пытался ничего понять. Я честно заучивал доказательства наизусть, так как не знал, что еще с ними делать :) в этом смысле, наверное, мне бы помогло, если бы мне объяснили, что можно применять голову. По-моему, они никогда не упоминали слово "понимать".

А я на Рыжкова совсем не ходил, вместо этого читал книгу Гельфанда.
Правда, и в ней не всё было хорошо, потом мне пришлось дополнить её Бурбаки.
Во всяком случае, я никогда не учил доказательств наизусть.

>Еще, например, наш курс не учили тому, что такое, например, градиент, однако это активно использовалось. Я до того, как прочитал здесь соответствующий курс, вообще никогда на слышал (и не подозревал), что скалярное произведение градиента на направление дает производную в данном направлении.

Это тавтология. Что такое градиент функции? С современной точки зрения этот термин устарел.
Сейчас просто гооврят: дифференциал функции. Это — дифференциальная форма ранга 1.
Она задаётся следующим образом: функция — это морфизм нашего многообразия
в вещественную прямую. У этого морфизма есть касательно отображение, действующее
из касательного расслоения нашего многообразия в касательное расслоение вещественной прямой.
Последнее каноническим образом отождествляется с прямым произведением двух
вещественных прямых. Про первую компоненту (точку на прямой) можно забыть,
а вторая (касательное пространство в любой точке) останется.
Вот мы и получили дифференициальную форму ранга 1.
Если подставить в неё векторное поле, то мы тавтологическим образом
получаем производную функции вдоль направления.
Если у нас задан изоморфизм между касательным и кокасательным расслоением,
то можно дифференциальную форму превратить в векторное поле.
При этом подстановка поля в форму переходит в скалярное произведение полей.

>Я тогда плохо умел формулировать вопросы. Например, я не понимал значение символа "^" в определении дифференциальных форм, но не задумывался, что это можно спросить или узнать. Теперь я умею формулировать вопросы. Но я же не средний студент...

Вот об этом я и говорю!
Надо учить людей задавать вопросы!
Даже умные люди могут этого не уметь.

>Кстати, я никогда не отрабатывал никакие механические математические процедуры. Точнее, когда я читал здесь диффуры, я прорешал все домашние задания, и выяснил, как плохо я до этого умел интегрировать по частям :) Но мне такие вещи помогают довольно слабо. Точнее, мне помогает решить несколько примеров, а потом подумать о них подольше.

На мой взгляд, решение тупых вычислительных упражнений не помогает в понимании вообще никак.
Надо решать содержательные задачи.
Тогда и вычислительная техника со временем появится, и понимание будет.

(Reply to this) (Parent)

Очень рад тебя видеть. Попробую понемногу на всё ответить.

>Люди, которые высоко компетенты в математике, высоко компетентны в преподавании и настолько заинтересованы в преподавании, чтобы посвятить этому массу времени и сил - таких людей единицы на всей планете.
Как правило, люди либо разбираются в предмете только до какого-то предела, либо они заняты исследованиями и не умеют преподавать этот предмет, либо умеют, но им это не так уж и интересно.
=> те из твоих методологических замечаний, с которыми я согласен (далеко не со всеми), практически не очень осмысленны без понимания того, откуда взять таких преподавателей.

Более-менее везде учителя математики получаются из выпускников университета
по математическим специальностям. Поэтому твой вопрос сводится к такому:
как сделать так, чтобы из выпускников университетов получались хорошие преподователи? Это уже другой вопрос.

Продолжение следует.

(Reply to this) (Parent)

Другой аспект — насколько разумна нынешняя система образования?
Ведь никто, по существу, не пытался измерить её эффективность научными способами.

Моё мнение заключается в том, что в старших классах
следует выдавать школьникам хорошие учебники,
которые они будут читать. Учебники должны быть написаны профессиональными математиками
(пример — «Алгебра» Гельфанда и Шеня, есть в электронном виде,
рекомендую посмотреть).
У каждого учебника должен быть сайт, где его автор и/или другие математики отвечают
на вопросы, возникающие у школьников. Все ответы
выкладываются на сайт, при этом текст учебника
тоже лежит на сайте и открыв любой параграф
учебника мы сразу видим вопросы, которые уже возникли
у учеников по этому параграфу (или даже абзацу) и ответы на них.
Такая обратная связь позволит быстро улучшить качество учебников.
Учитель же проверяет домашние задания и контрольные работы.
В этом — вся его функция, больше он ничем не занимается.
А в школе проводятся только контрольные работы и экзамены.
При этом учителю на них присутствовать не надо, ведь все задания письменные.

Во всяком случае, сейчас школьные уроки
представляют из себя не что иное, как записывание
конспекта под диктовку учителя. Очень редко
кто задаст вопрос. Кроме того, вопросы у всех
разные и не часто бывает так, что чужой вопрос
представляет для тебя интерес. Кроме того, скорость
восприятия у всех разная, для кого-то учитель читает
слишком быстро, для кого-то слишком медленно.
Решение задач учениками у доски тоже
малоэффективно — все остальные просто сидят
на своих местах, и, как правило, ничего не делают, потому что следить за
чужими попытками решения задачи мало интересно.
Фактически, обучение в данном случае одностороннее.

В моей модели обучение будет двусторонним за счёт двух
факторов: автор учебника и его помощники отвечают
на вопросы школьников, учитель проверяет письменные домашние задания и делает свои замечания.
Кстати, ведь задать вопрос на сайте психологически
значительно проще, чем задать вопрос на уроке.

Кроме того, такой способ обучения развивает крайне важное умение задавать вопросы.
Нынешняя система не способна это сделать.

В связи с этим мне не очень понятно твоё замечание про то, что многие лучше учатся от других.
Лично я гораздо быстрее учусь чему-либо, если кто-то рассказывает
мне этот материал индивидуально у доски, а я взаимодействую с ним различными
способами, задавая ему вопросы, тормозя его, и часто прошу его ускориться, когда
материал мне знаком.
Мне кажется, что к тебе это тоже применимо.
Однако когда я сижу в классе, где сидит ещё 20 человек,
обратная связь фактически полностью исчезает, что доводит эффективность системы до нуля.
Мне непонятно, как нынешняя система обучения с очень слабой обратной связью может
быть более эффективна, чем простое чтение книг вместо с предложенной мною обратной связью.

>Насчет доказательств и быдла - скажем, в тех же Штатах, где мы оба сейчас находимся, люди получают многопрофильное образование. Если я, допустим, захочу дополнить свое образование, взяв вводный курс по химии, я буду рассчитывать получить некую базовую эрудицию, некое понимание общих принципов, и т. д. И мне безразлично, что (по большому счету) я не буду понимать химию, как ее понимают химики. Кто-то назовет такое образование "синтаксическим". Я бы не стал.

Насчёт таких курсов читай пост sowa «Образование как отбор».
Такие курсы называются ознакомительными. По существу, это популяризация науки.
Поэтому они относятся к совсем другой категории, я бы не стал называть это образованием.
Это приобретение общей культуры и эрудиции.
Поэтому вопрос о синтаксичности здесь не стоит.
Школьные курсы истории, географии, литературы, биологии являются ознакомительными.

Продолжение следует.

(Reply to this) (Parent)

Согласно статье в Википедии 0.272 общего числа
американцев имеет высшее образование.
В России, кстати, эта доля ещё больще.
Другое дело, каково качество этого образования.

>Им это не нужно. Они не будут этому учиться. У них своя жизнь.

Так и на курсы никто не заставляет ходить. И в университет никто не заставляет поступать.

>Иначе они перестанут пытаться думать вообще и будут только все заучивать.

Контроль надо строить таким образом, чтобы невозможно было что-либо сделать путём заучивания.
Хочешь зубрить — изволь получить низший балл за этот курс.

Кстати, я считаю, что ознакомительное образование важно.
Именно оно не позволяет опуститься населению до скотского состояния и превратиться в быдло.

Умение формулировать и задавать вопросы, подвергать всё сомнению в любом
месте и в любой ситуации является важной частью образования.

Могу ещё сформулировать, что я считаю синтаксическое образование бессмысленной тратой денег.
Вообще, есть два типа образования:
ознакомительное (оно же популярное) и содержательное, при последнем человек приобретает глубокое понимание предмета.
Первый тип образования существует в (хорошей) популярной литературе.
Его отличительной особенностью является фактически полная независимость частей.
Например, популярное образование по физике нужно, например, затем,
чтобы население понимало необходимость финансирования физических исследований.
Содержательное образование нужно для производства специалистов в данной области.

Синтаксическое образование, на мой взгляд, бесполезно.
Особенно в математике, посольку все такие вещи уже умеют делать компьютеры.
В условиях массового распространения электронных компьютеров
никому не нужны биокомпьютеры в виде людей.
Синтаксическое образование в математике совершенно бесполезно для самих
математиков. Математикам не так часто надо вычислять,
а уж если математику пондобилось что-то посчитать, то он включит компьютер.
Тем более очевидна бесполезность синтаксического образования для неспециалистов.

Твои студенты — зачем они изучают линейную алгебру?
Я уверен, что тем из них, кому действительно понадобится линейная алгебра,
требует именно понимание, а не вычисления, которые может проделать компьютер.
Посещать же линейную алгебру в качестве популярного курса — не самый лучший вариант.

(Reply to this) (Parent)

Теперь что касается вопроса про среднюю линию.
С практической точкии зрения, школьный курс геометрии почти полностью бесполезен,
исключая теорему Пифагора и ещё пару столь же простых вещей.
С точки зрения практических умений он также бесполезен,
так как при решении геометрических задач развивается довольно специфичная техника,
которая потом особо не нужна. В алгебре ситуация с этим обстоит лучше.
Многие люди имеют такое мнение, что школьная геометрия нужна для развития
умения доказывать. Я согласен с тем, что единственная польза от геометрии
заключается именно в этом. Однако непонятно, почему другие разделы математики не подходят
для той же цели. На мой взгляд, алгебра способна справиться с этим гораздо лучше,
потому что в ней больше разноообразия.

У школьного курса геометрии есть большая проблема — он создаёт у школьников иллюзию
строгости там, где её нет. Им кажется, что все теоремы выводятся из аксиом, однако
это совершенно неверно. Беглый взгляд на любой школьный учебник геометрии выявляет
очевидную неполноту указанной там системы аксиом.

На самом деле, первую строгую систему аксиом геометрии в духе Эвклида
дал Гильберт в 1899 году. Пуанкаре заметил, что эта система аксиом
не полна, после чего Гильберту пришлось добавить ещё одну аксиому.
Гильберт и Пуанкаре — два самых крупных математика конца 19 и начала 20 века.

Не удивительно, что в школьных учебниках геометрии до сих пор творится такое безобразие.
Фактически, это подрывает саму идею обучения доказательствам.
То, что делают в школьной геометрии, на мой взгляд называется убедительным рассуждением,
а не доказательством.

Шень про это подробно написал в свой книжке.

Читай также мою дискуссию про школьную геометрию.

На мой взгляд, было бы разумно определить плоскость как множество пар рациональных чисел,
точку как пару рациональных чисел, а прямые задавать параметрически.
Тогда можно развить значительный осмысленный кусок геометрии, связанный с точками,
прямыми и составленными из них фигурами, доказывая при этом все утверждения.
Потом можно будет определить конические сечения и отметить, что окружность и прямая
не всегда пересекаются, даже если расстояние до прямой меньше радиуса.
Это служит основанием для замены рациональных чисел на вещественные.

Во всяком случае, так устраняются бессмыслицы вроде неопределяемых понятий и недоказываемых
утверждений (аксиом). Ведь в математике нет неопределяемых понятий — все
понятия определяются, и нет недоказываемых утверждений (аксиом) — есть лишь
определения. Подробнее об этом написано в моей дискуссии на тему школьной геометрии,
ссылка на которую дана выше.

Что касается геометрий постоянной (ненулевой) кривизны, которые ты упомянул,
то мне кажется, что это уже всё-таки следующий уровень абстракции.
Даже если изучать гиперболическую плоскость в модели верхней полуплоскости,
это уже будет посложнее обычной плоскости.

Тот факт, что одни и те же аксиомы (определения) могут задавать разные объекты,
был, по-видимому, в своё время большим концептуальным прорывом.
Однако в настоящее время такая ситуация имеет место в математике повсеместно.
Собственно говоря, именно с переходом от изучения однозначно заданных объектов
к изучению объектов, удовлетворяющих некоторым аксиомам (определениям) я и связываю
переход от концепции аксиом к концепции определения.
Собственно говоря, термин аксиома теперь является чисто историческим и означает тоже самое,
что и определение.
Есть, например, аксиомы теории множеств, но они, по сути, являются определениями.
Мы имеем разные теории множеств в зависимости от того, принимаем ли мы или отвергаем
аксиому выбора или континуум гипотезу.

Единственная вещь, которая приходит на ум — аксиомы логики первого порядка,
в том случае если мы используем их для построения математики.
Однако это резко расходится с практикой — пока что никто не построил существенного
куска математики в логике первого (или второго порядка).
А уже сами теоремы про логику первого порядка (полнота и другие)
уже опираются на определение логики первого порядка
как некоторого математического объекта (системы вывода).

(Reply to this) (Parent)