Я имел в виду, что при каноническом спаривании между касательным и кокасательным расслоением локальные базисы dx_i и d/dx_j (извиняюсь, не умею писать частную производную) двойственны. Все конкретные вычисления все-таки происходят локально (хотя в доказательствах теорем от использования базиса нужно по возможности избавляться).