Собственно теоремой РР называется некоторое утверждение о мероморфных функциях и формах на компактных римановых поверхностях. Утверждение, которое ФФ назвали теоремой "общей теоремой РР" - это максимальное обобщение одного из аспектов доказательства теоремы Римана-Роха-Гротендика. Обобщение столь далеко идущее, что обобщается только тривиальная часть. Содержательная часть теоремы РР - это утверждение о существовании голоморфных функций с предписанными свойствами. Подобно этому, теорема АЗ утверждает, что (при определенных условиях) эллиптические уравнения имеют нетривиальные решения (в случае теоремы РР речь идет об уравнениях Коши-Римана в одномерном случае).

Спасибо! Буду разбираться, авось, Ваши комментарии что-нибудь мне облегчат.

Добрался до Вашего клича в ru_math.

Давайте я тут объясню, что я имел в виду.

Имеется некоторое явление - пытаться объяснить его в рамках коммента бессмысленно. Первый раз с ним столкнулись в задаче о существовании мероморфных функций на римановых поверхностях (Риман-Рох). Хирцебрух обобщил эту задачу и решение на комплексные алгебраические многообразия любой размерности. Атийя и Зингер доказали общую теорему об эллиптических операторах, в которой случай оператора Коши-Римана дает теорему Хирцебруха. Это тоже самое явление. В промежутке была теорема Римана-Роха-Гротендика, которая обобщает теорему Римана-Роха-Хирцебруха совершенно неожиданным образом: теорема РРГ говорит об отображениях, и теорема РРХ является частным случаем отображения в точку. Наиболее полезная форма теоремы АЗ - теорема АЗ для семейств операторов - моделирует формулировку Гротендика.

Никакой самой общей формурлировки не существует. Есть несколько теорем об индексе в некоммутативной геометрии (которая, в значительной степени, и является наукой о специальных обобщениях теоремы АЗ). Есть теорема РРГ для комплексных многообразий (теорема Гротендика относилась только к алгебраическим), которая, на первый взгляд, должна следовать из теоремы АЗ, но не следует.

Так что есть явление, которое возникает в самых разных областях, а теорема Римана-Роха - это прообраз всего этого. Можно говорить, что вы хотите доказать теорему об индексе, а можно - РР. В более аналитических ситуациях принято говорить о теоремах об индексе, в более алгебраических - о РР.

Спасибо еще раз!

Моя цель достигнута :) Стало интересно, теперь, авось, разберусь. Хотя бы поверхностно.

>Есть теорема РРГ для комплексных многообразий
>(теорема Гротендика относилась только к алгебраическим),
>которая, на первый взгляд, должна следовать из
>теоремы АЗ, но не следует.

Не понимаю, почему.
Для гладких, компактных, вроде следует,
то есть кэлеровость нигде не используется.

Такие дела
Миша

Для аналитических когерентных пучков и голоморфных отображений. Полный аналог ГРР в аналитической геометрии.

Даже РРХ для аналитических когерентных пучков не следует; см. Nigel R. O'Brian, Domingo Toledo, Yue Lin L. Tong, Hirzebruch-Riemann-Roch for Coherent Sheaves, American Journal of Mathematics, Vol. 103, No. 2 и ссылки там.

Для когерентных пучков само собой, да, ну
как бы и не резон (когерентные пучки на
неалгебраических многообразиях очень
редко имеют свободные резольвенты).
Для расслоений все, кажется, получается
без проблем.

Вообще, "когерентный пучок" в комплексной
геометрии - понятие весьма нетривиальное,
чтобы доказать, например, что ядро и коядро
морфизмов снова когерентные, надо немало
повозиться.

Такие дела
Миша

Ну да, фишка именно в том, что когерентные, а не только локально свободные.