Собственно, эти разные части и называют двумя культурами.
Но можно, конечно, не называть.
Просто люди любят что-то как-то называть, а потом спорить о значении слов.)

Нет, называть-то их полезно. Ведь различие и вправду существенное. Но вот некоторые эмоции испытывать в результате, по-моему, вредно :)

Кстати, гомотопические группы сфер, похоже, под фонарь залезают лишь краешком.

Вам виднее. Я про них почти ничего не знаю. Но на первый взгляд это совершенно другая математика, чем например теорема об индексе или квадратичный закон взаимности.

Я не знаю, что такое теорема об индексе.
А математика там очень смешанная, как, например, и в классификации дистанционно регулярных графов. Обалденной красоты теорема о порядке образа J-гомоморфизма, и при этом никаких шансов, что такая же красота сработает вообще.

"Я не знаю, что такое теорема об индексе."

Мда... Все-таки это один из двух-трех самых важных и интересных результатов (направлений - это уже давно не одна теорема) 20-го века. Доказательство можно не знать, но не знать, что это такое - и, видимо, не хотеть узнать - ибо Гугл к нашим услугам...

Я тоже не знала до последнего времени. А если бы не ЖЖ, то и слов бы таких не услышала...

Есть разница между неинформированностью в силу, скажем, характера образования, и позицией.

Я вот все жду, вдруг Френч-ман расскажет "на пальцах", что такое теорема Римана-Роха. А может, Вы аналогично про АЗ? В ру_мат. Буду очень благодарен.

Я не вижу смысла в переписывании в интернет своими словами того, что уже прекрасно изложено, и в том же интернете доступно, если уж лень идти в библиотеку.

Теорема РР и теорема АЗ - это, по большому счету, одно и то же.

> Теорема РР и теорема АЗ - это, по большому счету, одно и то же.

О! Вот такие маленькие замечания я и ценю. После них уже действительно можно пойти в интернет или библиотеку.
Или как у Фоменко с Фуксом, маленькое замечание о том, что РР - по сути тривиальное утверждение. Что-то с чем-то совпадает просто по определению.

Фоменко с Фуксом (наверное, лично Фоменко) Вас обманули: теорема РР - нетривиальное утверждение. Где это они такое написали?

"Курс гомотопической топологии", параграф 41.

"Это очевидное предложение и есть общая теорема Римана-Роха. Оно перестает быть тривиальным в конкретных примерах, поскольку в них оно включает в себя явное описание класса ориентируемых расслоений и явное вычисление ${\cal T}_\tau$."

Собственно теоремой РР называется некоторое утверждение о мероморфных функциях и формах на компактных римановых поверхностях. Утверждение, которое ФФ назвали теоремой "общей теоремой РР" - это максимальное обобщение одного из аспектов доказательства теоремы Римана-Роха-Гротендика. Обобщение столь далеко идущее, что обобщается только тривиальная часть. Содержательная часть теоремы РР - это утверждение о существовании голоморфных функций с предписанными свойствами. Подобно этому, теорема АЗ утверждает, что (при определенных условиях) эллиптические уравнения имеют нетривиальные решения (в случае теоремы РР речь идет об уравнениях Коши-Римана в одномерном случае).

Спасибо! Буду разбираться, авось, Ваши комментарии что-нибудь мне облегчат.

Добрался до Вашего клича в ru_math.

Давайте я тут объясню, что я имел в виду.

Имеется некоторое явление - пытаться объяснить его в рамках коммента бессмысленно. Первый раз с ним столкнулись в задаче о существовании мероморфных функций на римановых поверхностях (Риман-Рох). Хирцебрух обобщил эту задачу и решение на комплексные алгебраические многообразия любой размерности. Атийя и Зингер доказали общую теорему об эллиптических операторах, в которой случай оператора Коши-Римана дает теорему Хирцебруха. Это тоже самое явление. В промежутке была теорема Римана-Роха-Гротендика, которая обобщает теорему Римана-Роха-Хирцебруха совершенно неожиданным образом: теорема РРГ говорит об отображениях, и теорема РРХ является частным случаем отображения в точку. Наиболее полезная форма теоремы АЗ - теорема АЗ для семейств операторов - моделирует формулировку Гротендика.

Никакой самой общей формурлировки не существует. Есть несколько теорем об индексе в некоммутативной геометрии (которая, в значительной степени, и является наукой о специальных обобщениях теоремы АЗ). Есть теорема РРГ для комплексных многообразий (теорема Гротендика относилась только к алгебраическим), которая, на первый взгляд, должна следовать из теоремы АЗ, но не следует.

Так что есть явление, которое возникает в самых разных областях, а теорема Римана-Роха - это прообраз всего этого. Можно говорить, что вы хотите доказать теорему об индексе, а можно - РР. В более аналитических ситуациях принято говорить о теоремах об индексе, в более алгебраических - о РР.

Спасибо еще раз!

Моя цель достигнута :) Стало интересно, теперь, авось, разберусь. Хотя бы поверхностно.

>Есть теорема РРГ для комплексных многообразий
>(теорема Гротендика относилась только к алгебраическим),
>которая, на первый взгляд, должна следовать из
>теоремы АЗ, но не следует.

Не понимаю, почему.
Для гладких, компактных, вроде следует,
то есть кэлеровость нигде не используется.

Такие дела
Миша

Для аналитических когерентных пучков и голоморфных отображений. Полный аналог ГРР в аналитической геометрии.

Даже РРХ для аналитических когерентных пучков не следует; см. Nigel R. O'Brian, Domingo Toledo, Yue Lin L. Tong, Hirzebruch-Riemann-Roch for Coherent Sheaves, American Journal of Mathematics, Vol. 103, No. 2 и ссылки там.

Для когерентных пучков само собой, да, ну
как бы и не резон (когерентные пучки на
неалгебраических многообразиях очень
редко имеют свободные резольвенты).
Для расслоений все, кажется, получается
без проблем.

Вообще, "когерентный пучок" в комплексной
геометрии - понятие весьма нетривиальное,
чтобы доказать, например, что ядро и коядро
морфизмов снова когерентные, надо немало
повозиться.

Такие дела
Миша

Ну да, фишка именно в том, что когерентные, а не только локально свободные.

А почему знание о том, что две вещи (ни с одной из которых вы не знакомы) близко связаны, мотивирует вас с ними познакомиться, а знание о том, что они обе замечательные, -- не мотивирует?

Потому что мне под фонарем тоже уютнее :)

Не поняла.
"создается иллюзия, что всю математику можно объяснить красиво и связно. И, соответственно, возникает желание искать только "под фонарем""
-- вроде бы имеется в виду, что "под фонарем" -- это там, где красиво и связно. Ну вот про теорему об индексе вы слышали, что это красиво и связно (связывает вместе самые разные области математики), но это вы считаете недостаточным поводом для изучения.

Просто, чтобы начать врубаться в совершенно новую для меня область, нужны сильные толчки. И чем больше, тем лучше. И во время врубания они тоже очень помогают. И я здесь занимаюсь тем, что провоцирую такие толчки.

Теорема РР - частный случай АЗ. См. хоть википедию.

Ага, уже смотрю.

Удивительно все же. Про разность стилей мысли - у меня совершенно другой = можно не знать,
что это такое, но доказательство (идеи и ключевые штуки, они простые, иначе не дали бы
абстракций ) стоит посмотреть, к сожалению, тут как у Гауэрса (мне понятно) - нужно выучить много определений... но посмотрю работы в УМН, еще не дополз,по времени, но хотелось бы попроще, на другом языке, если хочешь, вообще в другой области.. важно то, что стоит за этим, процесс, конструкция, интуиция.

т.е. хочу сказать, что всегда были трудности с точной формулировкой результатов, но
вот оставалось только нечто труднопередаваемое, грубо говоря, то, что позволило бы самостоятельно все написать, по-своему. Это как раз к тому, что, насколько я понял
Гротендик сам переоткрыл интеграл Лебега, и говорил, что он не читатель, а писатель..
вот это понятно, как раз.

Тут внизу есть мой коммент с цитатой из Богомолова. К тому же - известная максима Манина: доказательства важнее теорем, определения важнее доказательств. На следующем уровне - идеология важнее определений. То, что идет под вывеской "теорема об индексе" - это некая идеология, которая подсказывает, какие определения надо искать, какие рассуждения проводить на основе этих определений, и, наконец, какие теоремы доказывать. Собственно доказательство теоремы об индексе довольно простое и прозрачное - после того, как контекст понят.

Гротендик сам почти ничего не написал. Его основные работы написаны Дьедонне и его учениками. Не очень-то писатель. И переоткрыл меру Лебега он не потому, что не хотел что-то читать, а потому, что никакой литературы ему доступно не было.

Кстати, квадратичный закон взаимности - хороший пример. Ровно столько мы умеем увидеть о квадратах (mod p) под нашим фонарем. Все остальное, что мы захотим о них узнать, придется наощупь.

Квадратичный закон взаимности - это *не* задача о квадратах. Это маленькая дырочка, через которую можно взглянуть на огромное здание алгебраической теории чисел. Частный случай теоремы, которая по историческим причинам называется "законом взаимности" Артина, хотя в ней уже нет ни взаимности (как, впрочем, ее не было и у Ферма и Эйлера: внимание к "взаимности" - это каприз 19-го века), ни, тем более, квадратов.

Это совершенно такая же математика.

Я имел в виду следующее бросающееся в глаза различие.

Теорема АЗ - фундаментальный закон природы. А приори не ясно, что что-то в этом стиле вообще верно (Атье-Зингеру уже видимо было ясно, но я не об этом, а вообще). А что pi_{11}(S^4)=Z_{15} так это просто pi_{11}(S^4)=Z_{15}. Ясно же, что pi_{11}(S^4) чему-то равно. Интересно посчитать. Посчитали. Оказалось, что Z_{15}. Законом природы это назвать не получается.

А методы, может быть, и совершенно такие же. Готов поверить.

Ну нельзя же сравнивать частные случаи с общей теорией. Скажем, по теореме АЗ индекс некоторого оператора равен 17 (что получается некоторым вычислением с характеристическими классами). Можно сказать, что ясно же, что его индекс чему-то равен. Посчитали, оказалось 17. Это нельзя назвать законом природы.

В теории гомотопий (и, в частности, теории гомотопических групп сфер) тоже есть свои законы природы, которые при удаче дают возможность получить численный ответ.

При этом методы действительно существенно пересекаются.

Мне казалось, что вычисление каждой новой конкретной гомотопической группы считается крупным достижением — не в пример конкретным эллиптическим операторам.

Ну, это во времена диссертации Серра так было.

Некоторые люди полагают, что нахождение нового простого числа вида 2ⁿ-1 - крупное достижение. Некоторые люди производят простые числа для коммерческих целей. Если бы гомотопические группы сфер имели коммерческую ценность, их значения производили бы быстро и недорого.

Со стороны эллиптических операторов, конкретное значение индекса редко представляет интерес, а вот тот факт, что некий индекс не равен нулю, может быть крупным достижением.

Интересно. Я думал, индексы через характеристические классы давно научились считать на раз-два.

Ну, опять же это было давно, а если оператор задан на некомпактном или некоммутативном пространстве, то все сложнее. Да и в классическом случае вычисление бывает нетривиально.

Скажем, гомологии пространства - самый вычислимый инвариант. С точки зрения общей теории, можно считать, что они всегда известны. Но если у вас есть конкретное пространство, вычисление его гомологий может оказаться весьма нетривиальной задачей. Тем более характеристических классов. Их еще перемножать надо, и, тем самым, знать мультипликативную структуру когомологий.

Конечно, двух культур нет. Есть одна культура.

Настолько богатая, что ее представители могут поделиться на две команды и устроить войнушку :)

Эт точно.

вся математика кончается на квадратуре круга, то есть числе Пи
дальше сплошная физика

о каком противостоянии речь? Алгебра-геометрия или эти ... конструктивисты против нормальных или что?

Вы, думаю, понимаете что говорить про дисциплину, в которой единственным критерием является эстетический (если не считать формальной верности, на которой одной далеко не уедешь, и оставляя в стороне практические применения, которых как правило нет), что она "под наши эстетические понятия не заточена", не то чтобы нельзя, но обоснованием
такой позиции может быть только личная вера. Скажем, к поэзии можно применить ту же формулировку?

Не поймите неправильно, я всячески за свободу творчества, в том числе для эрдешистов. Только честнее (по кранйней мере для "внешнего употрбления") было бы сказать не что математика "не заточена под эстетические понятия", а что бывает разная эстетика, и к разным эстетическим подходам нужно относиться к уважением. Так что "две культуры" скорее все же есть, хотя обе по-своему хороши.

Я не про дисциплину, а про область, которую она изучает. Математические объекты. Если некоторые из них с нашей эстетической точки зрения "уродливы", "беспорядочны", или с нашей прагматической - "неинтересны", это не их беда, а наша.

ну а как вы отличаете реально существующие математические объекты, заслуживающие вашего трогательного обращения как с живыми ("не их беда"), от надуманных? Что же, вы про 100% определений из 100% статей в архиве и не только считаете, что "это не их беда, а наша"? По-моему, во многих случаях единственная беда в том, что про них вообще написали.

О, кстати: как по-Вашему, "операды" - это надуманное определение,или от них есть реальная польза?

вроде хорошее понятие, ненадуманное. Но комбинаторно-алгебраические навороты, которыми народ там любит заниматься, совсем не в моем вкусе.

Да, я неправильно задал вопрос. Определение может быть ненадуманным, но введение его не приносит пользы для той ситуации, из обобщения которой оно возникло. Тогда оправданием для него может служить, если появляются красивые примеры или теоремы.

Интервью с Федором Богомоловым (http://friday.vedomosti.ru/article.shtml?2007/07/06/10024) (via prof_yura@lj)

«— Доказательство — это мерило деятельности математика?

— Для одних математиков это действительно так. А с моей точки зрения, главное — новая работающая идея. Доказательством мы закрываем поставленный вопрос. А идеей ставим новый.»

В математике ценно только то, что эстетически ценно. А факты - это только повод.

Кстати, задачку оттуда про одновременное убивание длинных возрастающих подпоследовательностей я еще не решил.

А разве случайная перестановка строк не подойдет?

То есть, для некоторого с доля перестановок с возрастающим куском cn^{1/2} меньше 1/n?

Если я правильно помню формулу Стирлинга, то меньше, чем exp(-C*sqrt(n)), так что столбцов можно брать много больше.

Вот в этом месте я и усомнился. Потому что можно тогда не столбцы размножать, а sqrt(n) уменьшать. А это нельзя.
Но я щас пьяный, может, просто не секу.

вероятность оценивается как (e^2/c)^(c*sqrt(n)) для c*sqrt(n), так что c<e^2 не катит.