Да, кто-то из нас прав. А кто-то нет :)

Как я все это вижу. Есть некое простое Р. Даже не важно, что простое, сейчас это не играет роли. Есть некое Р. Нашлись какие-то два числа, меньшие чем Р, произведение которых делится на Р. Можно изобразить:

А*Б = М*Р, А и Б - эти самые два числа, меньшие чем Р, а М - кратность, с которой делится это произведение.

Давайте просто их перемножим:

А*Б = "произведение"

Но у нас одновременно:

М*Р = "произведение"

("произведение" - это число, результат умножения А*Б или М*Р, все числа целые)

Скажите, мы можем утверждать, что "произведение" делится нацело на А, или на Б, или на М, или на Р?

Да, произведение делится нацело на А, на Б, на М и на Р. Но нам-то нужно, что Р делится на что-то отличное от 1 или Р. Внизу используется индукция по Р (в том смысле, что мы предполагаем, что утверждение доказано для всех простых меньших Р). Теперь мы знаем, что А больше чем М и меньше чем Р. Мы можем записать А как произведение простых Р1, Р2, ..., Рн. Каждое из этих простых меньше Р, а значит к ним применимо доказываемое утверждение теоремы по индукции. Следовательно каждое из этих простых делит либо М либо Р. Если хотя бы одно из них делит Р, то мы получаем противоречие, так как все Р1, Р2, ..., Рн меньше Р и Р простое. Значит все Р1,...,Рн делят М нацело. Пусть А"=Р2*...*Рн и М"=М/Р1. Тогда А"*Б=М"*Р, причем М" строго меньшу чем А. К этому равенству применимо тоже рассуждение что и раньше. Следовательно, можно поделить на Р2, и так далее. В конце концов, получим равенство Рн*Б=М"""""*Р с Рн простым, строго больше чем М""""" и одновременно делящим нацело это мифическое М""""". Такого М""""" в природе существовать не может. Получили противоречие.