Да, произведение делится нацело на А, на Б, на М и на Р. Но нам-то нужно, что Р делится на что-то отличное от 1 или Р. Внизу используется индукция по Р (в том смысле, что мы предполагаем, что утверждение доказано для всех простых меньших Р). Теперь мы знаем, что А больше чем М и меньше чем Р. Мы можем записать А как произведение простых Р1, Р2, ..., Рн. Каждое из этих простых меньше Р, а значит к ним применимо доказываемое утверждение теоремы по индукции. Следовательно каждое из этих простых делит либо М либо Р. Если хотя бы одно из них делит Р, то мы получаем противоречие, так как все Р1, Р2, ..., Рн меньше Р и Р простое. Значит все Р1,...,Рн делят М нацело. Пусть А"=Р2*...*Рн и М"=М/Р1. Тогда А"*Б=М"*Р, причем М" строго меньшу чем А. К этому равенству применимо тоже рассуждение что и раньше. Следовательно, можно поделить на Р2, и так далее. В конце концов, получим равенство Рн*Б=М"""""*Р с Рн простым, строго больше чем М""""" и одновременно делящим нацело это мифическое М""""". Такого М""""" в природе существовать не может. Получили противоречие.