Вот не эта задача, но близкая
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0605/0605640v1.pdf

В уме понял, как считать; одинаково для всех размерностей. И асимптотика должна получиться.
Связных компонент ровно столько, сколько пар "взаимно ближайших" вершин. Среднее их число - по линейности матожидания - это вероятность, что взятая наугад пара "взаимно ближайшая", помножить на число пар. А вероятность эта легко считается: что никакая из оставшихся точек не попала в объединение двух шаров. Интегралы я в уме брать не умею, но, по всему, проблем быть не должно. А объем объединения двух шаров, когда размерность велика, примерно равен удвоенному объему шара.

>Связных компонент ровно столько, сколько пар "взаимно ближайших" вершин

Так это у нас получится матожидание числа компонент связности (в конечном объеме), а не матожидание числа ребер в компоненте связности.

Она - да, посчитается как Вы говорите (ну только надо еще интегрировать условную вероятность по расстоянию между этими двумя точками).

Разве средней плотности компонент связности не достаточно? Плотность средняя узлов известна, достаточно поделить :)
Ну и число рёбер равно числу вершин, насколько я понимаю.

Для конечного объема нет - отношение средних ведь не равно среднему отношений. Асимптотически скорее всего получится, что одно получается из другого, если доказать что-то типа эргодической теоремы (число компонент связности для n точек, деленное на n, стремится куда надо). Но это надо отдельно доказывать.

Ну, что все стремится куда надо, доказывать нужно, но это очевидно и рутинно делается. И интеграл наверняка берется, нам же нужно не точное значение, а асимптотика. Жаль, что мне лень все это проделать, но ответ 3 для одномерного случая я угадал правильно.

Это самое ожидание числа компонент связности в кубе [-N,N]^d вроде получается эквивалентно N^d (C^2/2)\int_{R^d}e^{-Ca(d)\|x\|}dx, где C среднее число точек в единичном объеме, а a(d) объем объединения двух шаров радиуса 1, центр одного из которых лежит на границе второго.