Я тоже вспомнил одну задачку после той Аввиной.

А можно описать пример такого случая, когда их бесконечно много?

Например, это любая ломаная, описанная около сферы :)
Что касательных сфер тогда будет бесконечно много, можно доказать, используя как раз результат твоей задачки.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые a,b. Найдем геометрическое место точек, которые могут являться центром искомой сферы. Это две взаимно-перпендикулярные плоскости которые в свою очередь перпендикулярны плоскости ab и линии пересечения с этой плоскостью являются биссектриссами угла ab. (описание длинное, наверное проще самому представить как эти плоскости расположены).

Итак, наша ломаная abcd. Строим по две плоскости для ab, bc, cd.
Если искомая сфера существует, то она должна принадлежать и первой паре плоскостей, и второй, и третьей.

Итак, искомый центр сферы может находиться только в точке пересечения трех плоскостей P1 P2 P3, где P1 - плоскость из первой пары, P2- из второй, P3 - из третьей. Более того, для любой такой точки искомую сферу можно построить.

Всего вариантов выбора плоскостей 8. Так скорее всего ответов ровно 8. Если ответов больше, то для какого-то набора из рассматриваемых 8-ми плоскости имеют бесконечно много точек пересечения. Для каждой из них можно построить требуемую сферу.

Как интересно.... Решение не использует условие что ломаная замкнута :)