изобрёл случайно монодромию
Монодромия устроена так. любое топологическое пространство это коалгебра в категории топологических пространств, потому что существует диагональ. Если есть морфизм E -> B, то это превращает E в B-комодуль, идиотским образом, через отображение графика E -> E \times B. Можно от этого взять теперь сингулярные цепи и александера-уитни, получить комодуль C_*(E) над коалгеброй С_*(B).

Теперь к этому надо применить прости господи кошулеву двойственность, получится алгебра C_*(\Omega B) цепей на петлях и модуль
над ней. Утверждение: этот модуль это С_*(F), цепи на гомотопическом слое, и действие это монодромия (гомотопический слой над точкой это пути из этой точки куда-то ещё, их можно компонировать с петлями в этой точке, это даёт действие \Omega B \times F -> F.

Доказывать это представляю себе как разве что с обратной стороны: по теореме брауна есть С_*(E) это скрученное тензорное произведение С_*(B) \otimes_\phi C_*(F). Этот изоморфизм, наверное, согласован со структурой комодуля на С_*(B)? Кошулева двойственность переводит косвободные комодули (полученные как скрученные тензорные произведения) в пространства образующих. Это всё с точностью до замены C_*(B) на свою кобар-бар конструкцию. Вообще мне нужно это не для топологических пространств даже, а для расширений групп; там нет лишнего шага с отождествлением кобар от C_*(B) с C_*(\Omega B), там можно сразу с этой кобар-конструкцией иметь дело.

-----------

Зачем это всё, собственно нужно. Я хочу явную формулу для послойного интеграла на сингулярных цепях
(или для обратного образа в гомологиях). Что это такое: если есть
расслоение F -> E -> B, такое, что F это пространство с двойственностью пуанкаре, и фундаментальный класс pi_1(B)-инвариантен,
то можно взять класс в H_k(B), по изоморфизму пуанкаре сделать его классом в H_k(B, H_n(F)), этот класс по соображениям размерности переживёт все дифференциалы в спектралке серра, даст класс в на бесконечной странице, и он будет как раз в том месте
бесконечной страницы, которая вкладывается в когомологии тотального пространства (а не просто её подфактор). Это и есть обратный образ на гомологиях, интеграл по слоям это двойственное отображение.

Если бы фундаментальный класс [F] можно было бы представить циклом, который инвариантен не только относительно \pi_1(B) (то есть H_0(\Omega B)), а сразу относительно всей алгебры C_*(\Omega B), можно было бы проделать вербатим всё то же самое на уровне скрученного тензорного произведения, но так сделать нельзя. Вместо этого можно определить гомотопически инвариантный вектор С_*(F) как
А-бесконечность морфизм между тривиальным C*(\Omega B)-модулем и собственно модулем голономии C_*(F). Дальше можно попробовать
написать формулу для продолжения класса из E_2 до E_бесконечность, используя эти высшие поправки, а можно на самом деле сразу сказать, что если мы применим кошулеву двойственность к этому А-бесконечность морфизму, то мы получим морфизм C_*(B)-комодулей
между C_*(B) и C_*(E), сдвинутый как раз на размерность слоя. Утверждение: на гомологиях это даёт обратный образ. Впрочем, пока не думал, почему.

Можно пытаться продолжать фундаментальный класс до бесконечность фундаментального класса теорией препятствий --- определить, что такое A_n-морфизм (это когда мы берем не всю бар-конструкцию, а обрезаем её на n тензорах), продолжение с A_n-морфизма до
A_{n+1} препятствуется классом в гомологиях комплекса Hom(A^{\otimes n}, M), где А это алгебра, а M это модуль, эти препятсвия будут нулевыми по каким-нибудь соображениям размерности (мы всё-таки хотим продолжить класс в старших гомологиях). Проблема в том, что тогда не будет явной формулы для этого продолжения, потому что постоянно нужно будет брать d^{-1} от чего-то, а это
сложно делать контролируемым образом. Вообще, единственное, что мне надо контролировать, это норму всех этих отображений (в пространстве сингулярных симлексов есть естественный базис, я рассматриваю L_1-норму относительно этого базиса). Проблема в том,
что препятствия в гомологиях комплекса ограниченных отображений априори могут и не зануляться.

Одним из способов обхода этой проблемы было бы просто взять и к херам обрезать все когомологии после старших в слое и фигануть трансфер. Для того чтобы это сделать, впрочем, нужно их отщепить прямым слагаемым и обратить дифференциал. Что ограниченным образом тоже сложно сделать.

Но если обратный образ на сингулярных цепях это правда морфизм C_*(B)-комодулей, то это значит, что он полностью определяется компонентой С_*(B) -> C_*(F),
а следить за одним морфизмом может быть гораздо проще, чем за бесконечным, в принципе, количеством.


Вообще это всё затем, чтобы изучать расслоения на римановы поверхности, и интересует меня трансфер в одном-единственном примере:
для расширения 1 -> Г -> Aut(Г) -> Out(Г) -> 1, где Г это пи один от римановой поверхности рода больше 1. Это то же самое, что и универсальная риманова поверхность над BDiff от неё.

То есть если бы можно было бы решить такую задачу, было бы вообще отлично. Пусть d: C_3(Г) -> C_2(Г) это дифференциал в приведённом бар-комплексе. Он действует по формуле \6([a|b|c]) = [b|c] - [ab|c] + [a|bc] -[a|b]. Можно найти такое отображение s в обратную сторону, что dsd = d? Было бы очень хорошо, если бы было можно. Один факт, который я знаю про d, это то, что его образ замкнут. Это не автоматически для любой группы так, это свойство римановой поверхности такое; для тора это неверно, например.