простые модели
ПРОСТЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ИХ РОЛЬ В ПОСТИЖЕНИИ МИРА (НЕЙМАРК Ю.И. , 1997), МАТЕМАТИКА
"ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СЕРДЦА
http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/292.html

Перейдем ко второму примеру. В нем рассматривается очень сложный объект, и процессы, происходящие в нем, очень сложны. Модель для него построим очень простую, и, несмотря на ее простоту, с ее помощью узнаем кое-что интересное. Так, оказывается, бывает. Конечно, при этом мы узнаем о сердце далеко не все, а только кое-что, но важное, интересное и полезное. Исчерпывающая математическая модель для сердца очень сложна, пожалуй так же, как и оно само.

Предыдущая модель была математической моделью, отражающей водный и солевой балансы. Сейчас мы составим модель энергетического баланса.

Чтобы жить и работать, сердце затрачивает энергию, и эту энергию оно поставляет себе, работая. Больше можно ничего не знать. Можно знать только это и, построив математическую модель, узнать и понять кое-что неожиданное и нам неизвестное.

О нашем сердце и кровеносной системе написано много книг, и чтобы их все прочитать и изучить, едва ли хватит жизни. Но нам нужно лишь знать, что функционально сердце - это насос, который качает кровь по кровеносным сосудам и капиллярам, питая все органы и ткани тела, в том числе и самого себя.

Сердце не может остановиться. Оно должно все время работать и работать столько, сколько это нужно его владельцу. Иначе говоря, владелец, точнее, его нервная система командует, как оно должно работать: сильнее или слабее. Эту команду представим величиной управления u : чем больше u, тем интенсивнее нервная система приказывает работать сердцу. А сердце как безответный раб: что прикажут, то и делает, не жалея себя и не смея жаловаться. Может только "сломаться", и тогда уже плохо и ему и хозяину.

Оно может работать - сокращать свои мышцы - за счет имеющегося в нем запаса энергии. Эта же энергия - химическая - нужна ему и для поддержания своей жизни, жизни своих клеток. Пополняет запас энергии W сердце, так же как и все остальные органы и ткани тела, прокачивая через себя артериальную кровь, богатую кислородом и другими необходимыми веществами. Пусть f - интенсивность затрат энергии сердцем для его работы, а g - интенсивность пополнения запаса его энергии W. Пусть, кроме того, a - интенсивность потребления энергии для поддержания своей собственной жизни, питания его клеток и тканей, когда оно не работает. Очевидно, что скорость изменения энергии W равна - f + g - a, то есть

Интенсивности f и g зависят от u и W. В частности, если W = 0, то f = g = 0. Аналогично f = g = 0 при u = 0. Вместе с тем при каких-то u и W, отличных от нуля, f и g положительны, так как в противном случае наше сердце не могло бы работать.

Согласно (6), при фиксированной команде управления и в зависимости от знака правой части - f + + g - a происходит либо убывание, либо возрастание запаса энергии W. Отобразим этот факт графически на плоскости переменных W и u (рис. 1). Ясно, что W и u по смыслу не отрицательны и не превосходят некоторых своих максимальных значений Wmax и umax , и поэтому точка M с координатами W и u находится в изображенном на рис. 1 прямоугольнике ОАВС. Вершина этого прямоугольника помечена точками О, А, В и С. Где-то внутри этого прямоугольника выражение - f + g - a заведомо положительно. На сторонах ОА и ОС f = g = 0, и поэтому на них и вблизи них , так как a > 0. Естественно считать, что и на стороне СВ также отрицательно, так как при этом от сердца требуется выполнение максимально возможной работы.

Сказанное отмечено на рис. 1 минусами, которые означают, что при отвечающих их месту значениях W и u запас энергии W убывает. Знаки плюс на рис. 1 указывают на то, что где-то внутри прямоугольника - f + g - a > 0 и W растет. Ясно, что в части прямоугольника ОАВС, где W убывает (стоят знаки минус) и где возрастает (стоят знаки плюс), разделяются некоторой кривой g. Точный вид ее нам неизвестен, но этого и не требуется.

Изобразим теперь, как перемещается точка M(W, u) при фиксированных u. Это приведет к картинке, показанной на рис. 2.

В области G, ограниченной кривой g, значение W возрастает, а вне ее убывает. При работе сердца точка M(W, u) перемещается внутри прямоугольника, причем, находясь внутри G, смещается вправо, а вне - влево, не выходя, конечно, за его пределы. Вверх и вниз она смещается в соответствии с командами u нервной системы. При длительном постоянстве u точка M(W, u), находящаяся в области G, приходит на часть g+ границы g.

При изменении u точка M(W, u) описывает некоторую траекторию: при этом изменение u может быть любым, а изменение W предписывается уравнением (6) и происходит в соответствии со стрелками рис. 2. Точка M(W, u) может двигаться внутри и вне области G, выходя из нее при возрастании или убывании u, то есть при чрезмерно большой или чрезмерно маленькой команде u, когда сердце форсированно работает или, наоборот, слишком ослабляет свою работу. И вот теперь можно заметить, что ни то ни другое не может быть длительным. Длительное u, близкое к umax , или очень маленькое u приводят к тому, что точка M(W, u), смещаясь влево, оказывается в области, где W меньше Wкрит , показанного на рис. 2. Попав туда, она уже никак не может вернуться в область G и фатально попадает на сторону прямоугольника ОС, где энергия W, истощаясь, обращается в нуль и остается равной нулю. Проще говоря, сердце гибнет, так как его тканям и клеткам нечем поддерживать свою жизнь (W = 0).

Увиденное нами можно трактовать как то, что мы обнаружили две противоположные возможности возникновения кризисных состояний сердца: одно при слишком длительной интенсивной работе, другое при длительной его слишком слабой работе, вызываемой малостью команды u нервной системы, ее временным упадком. Подчеркнем, что интенсивная работа сердца может происходить не только в силу интенсивной работы человека, но и оттого, что нервная система перевозбуждена и дает большую команду u. Спад сердечной деятельности в нашей модели обязан не неполадкам в нем, а спадом сигнала u нервной системы.

Для того чтобы избежать необратимости гибели сердца, необходимо не допускать того, чтобы W стало меньше Wкрит . Причем в первом и втором случаях угрожающего уменьшения W действия должны быть противоположны. При чрезмерной нагрузке ее следует уменьшить и успокоить нервную систему, то есть добиться уменьшения u. Во втором случае чрезмерного спада деятельности сердца необходимо ее усилить и стимулировать нервную систему на увеличение команды. В одних случаях человек своими сознательными действиями может достигнуть требуемого сам, в других ему нужна помощь посторонних и, возможно, соответственно успокаивающие и возбуждающие лекарственные средства и действия. Излишне говорить, что это хорошо известно врачам.

Теперь постараемся с помощью той же модели понять, что происходит при детренировке, старении, интоксикациях и других причинах, понижающих коэффициент полезного действия сердца, то есть когда при тех же W, u и полезной работе затраты f становятся больше и питание сердца g - меньше. В результате происходит уменьшение области G, в частности увеличение Wкрит и увеличение минимальной работы сердца, когда оно сохраняет жизнеспособность. Как это ни парадоксально, но с возрастом и болезнью, когда сердцу бы впору отдохнуть, оно не может этого сделать и должно работать интенсивнее даже без внешних нагрузок. Конечно, одновременно падают и максимально допустимые нагрузки, но это вполне понятно.

Область G можно назвать областью жизненных возможностей сердца. Детренировка, интоксикация, болезни и старость ее уменьшают. Уменьшение это всестороннее, и поэтому падают как возможности интенсивной работы, так и полноценного отдыха.

Уменьшение жизненных возможностей - области G - облегчает и способствует наступлению сердечных кризов. Для того чтобы их избежать, человек сознательно должен беречь свое сердце, постигая границы его возможностей. Должен осмотрительно, когда это можно, тренировать его, стремясь расширить область жизненных возможностей G. Это хорошо известно врачам, и они, в частности после тяжелого заболевания, именуемого инфарктом миокарда, назначают выздоравливающему в период реабилитации постепенно возрастающую тренировочную ходьбу по пять и десять километров в день.

Хотелось бы еще добавить, что наша модель применима не только к сердцу, она значительно шире. Она применима к любому живому существу, которое, для того чтобы жить, должно работать, добывая себе пропитание. И в жизни его, как и наше сердце, все время подстерегает кризис "переработки" и кризис "лени". Человек отличается от диких животных лишь тем, что сумел смягчить безжалостность этих природных кризисов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Я думаю, что на вас произвело впечатление, что такими простыми средствами можно понять и познать причины и сущность неочевидных и непонятных явлений. Если это так и вы действительно удивлены, то, несомненно, вас интересует, за счет чего достигается эта простота. А она обязана в первую очередь широте и необъятности возможностей современного математического мышления. Во вторую очередь тому, кто его применяет. Научиться моделированию, ограничившись только формальным усвоением каких-то правил, по-видимому, невозможно. Не зря говорят об искусстве моделирования, так же как об искусстве медицинской диагностики, игре на скрипке, рисовании. Но все же этому можно научиться, и основную роль в этом обучении играют показы - именно то, что я сделал, - и небольшое количество советов, которые следует осмыслить и умеренно им следовать. Они достаточно общие и не могут служить непосредственным указанием к действию, они лишь дают разумные подсказки, как и что следует делать. Я приведу самые главные.

1. Чем проще модель, тем меньше возможность ошибочных выводов.

2. Модель должна быть простой, но не проще, чем это возможно.

3. Пренебрегать можно чем угодно, нужно только знать, как это повлияет на решение.

4. Модель должна быть грубой: малые поправки не должны кардинально менять ее поведение.

5. Модель и расчет не должны быть точнее исходных данных.

К этому хочется еще добавить, что, составляя математическую модель, желательно знать, что вы хотите от нее узнать и каковы основные факторы реальной системы, которые могут дать ответ. Так именно было при построении модели Каспия с заливом Кара-Богаз-Гол. А с энергетической моделью сердца было не так, а совсем иначе. Стимулом был вопрос: какие выводы можно сделать из того, что сердце подчиняется командам нервной системы и кормит себя само? Так что правила правилами, а жизнь многообразнее и необъятнее и, может быть, поэтому прекрасна. Конечно, не всегда при математическом моделировании нужно что-то изобретать: очень часто можно воспользоваться уже существующими типовыми простыми моделями и их сочетаниями. Хотя и это может оказаться не таким уж очевидным."


----
текст, на мой взгляд, в некотором смысле образцовый.
Да, простая модель. Но я бы обратил внимание не на то, насколько она простая, а на раскиданные по тексту рекламки - как мы прдсказали, как мы поняли. И на соответствие предсказаний и пониманий реальности.
Там есть смешная штука. В обществе бродят мифы о том. как работает сердце - ну, не мифы, упрощенные понимания. и то. что делают эти простые модели. сравнивают не с реальностью, а с упрощенными собственными представлениями о реальности. Оттого возникает впечатление полной гармонии.
А если честно - это ведь сплошное вранье.
Моделирование это врёт везде, и вначале, когда нечто обещает, и в конце, когда делает выводы. Кокетничанье литературными образами среди грубого обмана добавляет омерзения (пассаж про сердце-раба - в точности в стиле Ньютона с его фразой про мальчика на берегу океана, кидающего камешки)
При этом я предполагаю, что текст "хороший" - в качестве учебного текста по данной области знания он, может быть. если и не "один из лучших", то очень неплохой.
Я хочу сказать, что если лучшие таковы, то.