Здесь суть расхождения ясна - для Вас "религиозное" значит "имеющее отношение к душе - Богу - и т.д.", в то время как я понимаю его как имеющее отношение к религии; религия же - это не просто вера в нечто высшее и нематериальное, а коллективный феномен, подразумевающий принятие некоторой группой общих метафизических и этических основ мировоззрения (тех самых догматов) и связанных с ними ритуалов. Это отличает религию от философии: неоплатонизм или стоицизм - не религии, т.к. ни ритуалов, ни настоящих (аксиоматических) догматов они не подразумевают. Таким образом, религиозный философ для меня - это тот, кто философствует в рамках данной религии, а, скажем, Платон и Аристотель, несмотря на их веру в божественное - философы нерелигиозные.

Вы не сформулировали расхождений, а изменили объект разссуждения. Речь идет об особенностях мышления. Теперь Вы заговорили о «коллективном феномене, подразумевающем принятие некоторой группой общих... основ мировоззрения... и связанных с ними ритуалов» – т. е. о церкви, причем не о мистическом теле Христовом, а об общественной организации в чувственном мире. Это называется «подмена тезиса» :).
1) Если говорить о церквах (христианских, манихейских, катарских, буддийских и т. д.), достаточно заметить, что они были и будут разными: ортодоксальные, еретические и т. д. Более того, никто не доказал, что не было, нет и не будет церквей свободных, т. е. недогматизированных.
2) Моя оценка догматизма (религиозного и научного) будет разной. Аквинату удалось в какой-то мере христианизировать Аристотеля, тогда это было очень важно и хорошо. Напротив, номиналистам не удалось христианизировать мышление о природе – так возникло несовместимое с христианством естествознание (две истины). Хорошо ли мыслить догматически сегодня (когда мир в корне изменился) и как оценивать нынешний догматизм – вопрос другой.
3) Для Вас религиозная мысль внеопытна (= априорна), а догматизм возможен только в религии, но не в науке. Для меня наоборот. Религиозные идеи и знания взяты из опыта, из откровений, которых сколько угодно, которые бывают настоящими и мнимыми, из них нужно выбирать, их нужно как-то понять, а мысли для этого – сочинить. Это делают великие, но их опыт может быть рационально понят на всех уровнях – от простых и необразованных людей до гениев.
4) Если Вы принимаете априоризм (я нет), он будет в полной мере относиться не только к религии, но и к чувственному миру. Такое мнимое «знание» будет имитацией, ибо мы никогда не узнаем, что существует на самом деле – законы природы в опыте якобы не даны. Крупные физики постоянно говорят, что в законы можно только верить, т. к. ни их основания, ни степень их достоверности нам неизвесты. Напомню о проблеме индукции – физик не уверен, что когда он завтра проснется, будет выполняться закон инерции. Представительный пример Рассел: (http://vivovoco.rsl.ru/VV/PAPERS/ECCE/RSL/RSL_6.HTM) «Таким образом, оказалось, что, кроме как в откровении, мы никогда не можем быть уверены, является ли сегодня некоторая вещь или личность тождественной другой, похожей на нее вещи или личности, виденной в другое время; мы рискуем попасть в вечную комедию ошибок… Пока оставалась в силе концепция субстанции, воскрешение тела означало восстановление субстанции, составлявшей это тело, когда оно жило на земле… Эта трудность, как ни странно, встречается и в современной физике. Атом и электроны подвержены внезапным преобразованиям, и то, что получается в результате, невозможно идентифицировать с тем, что имелось вначале. Каждый электрон есть лишь способ группировки наблюдаемых явлений и не обладает "реальностью", необходимой для сохранения тождества… До недавних пор думали, что материя бессмертна, но теперь физика от этого отказалась. Атом теперь считается просто удобным способом группировки определенных событий; до какого-то момента удобно думать об атоме как о ядре с сопровождающими его электронами; электроны в один момент времени не совпадают с электронами в другой момент времени; однако ни один современный физик не считает, что они "реальны"… Имея на то достаточные основания, физики свели атом к ряду событий».
5) Как я вижу суть исходного вопроса, написано выше: аксиомы здесь ни при чем. Вы считаете, что правильность традируется от начальных высказываний, но даже из ложного тезиса может следовать истинный. Ваши начальные высказывания (= формальные правила) не аксиомы в привычном смысле – истинность и понятность настоящих аксиом самоочевидна из их содержания. Ваши псевдоаксиомы даже не постулаты и не гипотезы – те и другие в какой-то мере и каким-то методом проверяются. Псевдоаксиомы – это правила бессодержательных операций, не имеющие познавательного характера. Если мысли о Боге Вы соединяете по правилам некоей троичности, но Бог и Его троичность суть для Вас некий икс, Вам остается неизвестным, почему надо мыслить троичность, а не дуализм или четверичность, и как ее мыслить.