Для примера: можно рассматривать, например, сложную динамику в классическом виде (длинные формулы, тяжеловесные обозначения), можно произнести слова "косое произведение", "расширение динамической системы над почти-периодическим тором" - и совсем другой аппарат и подход.

Так ведь в том-то и дело, что от произнесения магических заклятий "косое произведение" и прочее - не меняется НИЧЕГО! Как задача решалась сложно - так она и решается, ни прибавить, не убавить. Можно понимать, что это "косое произведение", а можно спокойно работать с формулами, которые молча это свойство учитывают.
Модерновые методы в этой науке дают понимание и слегка облегчают классификацию того, что было сделано. А тяжелый счет - он и в Африке тяжелый счет. Подход, может, и другой, аппарат тот же самый. Такое вот свойство всей теории динамических систем.
Да, бывают задачи, которые решаются именно модерновыми методами и плохо воспроизводятся традиционными, теория КАМ, как могучий пример. Ну и славно - только это не отменяет старых и добрых книжек, и не упрощает их.
У меня просто есть опыт воспроизведения результата 50-х годов методами конца 80-х. Да, мне было проще: я лучше мог объяснять, почему правильно то, что я делаю. (Скорее: почему мы таким образом ничего не теряем.) Только вот формулы и числа оказывались совершенно теми же.

Если вы про численный счет - у меня нет комментариев. Если же про получение новых фундаментальных результатов, то я не согласен. У меня есть опыт не только воспроизведения, но и развития теории. Современный подход дает возможность не только понять, что бесчисленное множество работ не содержит новых результатов, потому что рассматриваемые ситуации неразличимы (суть одна ситуация) с правильной точки зрения, а делающиеся в них допущения несущественны (т.е. не имеют отношения к существу дела), но и позволяют найти значительное количество прямых ошибок, которые при правильной точке зрения просто бьют в глаза, а при классическом изложении теряются за громоздкостью формул. Так были найдены ошибки, например, у Селла, Виггинса, Брюно, Хирша-Пью-Шуба (это только те имена, которые на слуху) и др. Главным образом, за счет правильных конструкций.

Тем не менее, то, что по-старинке доказано правильно - вполне себе работает и не упрощается. А ошибки ловить - дело, конечно, важное, но все-таки второстепенное. Глядишь, придумают еще что-то, и ляпы нынешнего модерна будут также бить в глаза.
Но мы все-таки уклонились. Я начал с недоумения по поводу перечисления двух стилей - и с ним же, с недоумением и остаюсь.

Слышу это на протяжении многих лет, сейчас и спорить-то неохота. Жизнь и так рассудила. Возьмите любой современный учебник для аспирантов или монографию... А кто хочет, пусть делает по старинке. Это личный выбор каждого.

Относительно двух стилей: Вы высказались в том смысле, что разложили бы те же слова абсолютно по-другому. Как?

Кстати, насчет механики - я там задал вопрос, в чьем изложении?...

Я в-общем-то не работающий математик. Лет десять как руки не доходят. Посему пытаюсь не называть имен: много чего забыл, не то чтобы окончательно и бесповоротно, но сильно.
А основное знание - получал как раз по книжкам Арнольда. И был доволен. Хотя это и не было просто, конечно.

И если бы я делал классификацию стилей - я бы, наверное, помянул "архаичный". Но отдельной строкой вставил бы изумительный французский стиль, когда с неподражаемым изяществом простейшие понятия заворачиваются в совершенно безумные цепочки слов и словосочетаний. :-)