История математики
kosilova выложила http://kosilova.livejournal.com/205719.html замечательную работу Клайна по истории математики (М. Клайн. Математика. Утрата определенности.). Эта отлично сделанная работа выполнена по давно устоявшемуся шаблону. Недовольство прочитанным относится именно к шаблону, а не к тому, как именно он воспроизведен Клейном. И потому я наскоро решил записать те пункты, вопросы, на которые нет ответа ни в данной работе, ни в других работах по истории математики – которые не означены в самом шаблоне этой науки как существенные проблемы. Там, где стоят эти вопросы, в шаблонном ответе – некоторая вода и причитания, отсылающие читателя к другим областям знания или просто признание данного вопроса несуществующим.

Итак, вопросы, без которых история математики по сути не может существовать.
1. Какова была математическая мысль Индии, Вавилона, Египта? Иожно говорить, что «наша» математика началась в Греции независимо от предшествующей истории – и тем не менее, понять историю математики не удастся, пока не будет прояснен характер этой индийской, вавилонской и т.д. математики. При этом нужно именно положительное определение – не разговор о том, чего нет и не хватает в этой древней математике с сегодняшней точки зрения, а подход, умеющий услышать молчание. Чтобы выразить это содержание древней математики, надо смотреть не из сегодняшнего образа этой науки, задавая себе примерно такой вопрос: какими должны быть мысли и идеи математика, если он говорит только «это» (скажем, индийские «примеры решений» - наряду с изощренной логикой) и не говорит ничего другого.

2. Следующий этап начался со сломом этой математической традиции. Это именно слом некоторой «парадигмы» математического мышления. Что изменилось в способе математического мышления, чтобы смогла появиться греческая математика? Следует оставить наивные разговоры о «свободных духом пластических греках», математик должен внятно говорить – как и в чем изменилась математическая парадигма мышления.

3. Следующий этап – пифагорейская традиция; следует учесть. Что длился он (ослабевая и все менее внятный) до 17-го века. Весь этот огромный период надо увидеть как целое. Сейчас этот этап не понимают, положение дел в истории математики – как в общей истории, когда после Греции сразу переходили в Новое время, опуская Темные века. Исходят из школьного представления о единственной дороге развития математики, спрямляя пути развития в меру своего разумения. Надо увидеть в пифагорейской математике иной способ математического мышления, еще живой, скажем, у Кеплера. При этом должна обнаружиться тождественность математики, скажем, Кузанского и Коперника, и выявиться отсутствие существенного разрыва между Птолемеем и Коперником.

4. Математика в современном понимании возникла в руках Декарта и Ферма: «создание алгебры», «алгебраической геометрии». Что именно произошло? Какое существенное изменение в математическом мышлении позволило прервать традицию длительностью чуть не в 2400 лет? Создать новую форму мыслей о математике? Следует ставить вопрос именно так. Любое уменьшение значимости этого разрыва не позволит понять. Что произошло – и описать историю. При этом данный пункт не говорит об одномоментном переломе: ясно. что многое было намечено Галилеем, переход к иной традиции происходил достаточно постепенно, и дело не в имени Декарта, а в указании на качественное изменение математической мысли.

5. После Декарта продолжается до сих пор один этап. В этом смысле детали споров современных математиков – мелкие разборки меж своими. Надо за разнообразием современных школ и «непримиримых врагов» видеть существенное единство. Я бы предложил следующую аналогию. Предположим, «выяснилось», что 95% великих математиков нового времени были рыжими. Или имели какую-то еще редкую отличительную черту. Вот примерно таким образом выделяются все крупные математики 19-20 веков – они чрезвычайно похожи. Историю этой новой математики пишут, передвигаясь по созвездию великих имен, заостряя различие их подходов – прежде, чем писать об этом, надо охарактеризовать их существеннейшее сходство. Сейчас это не делается именно потому. что такое сходство уходит в «подсознание» истории математики, полагается само собой разумеющимся в силу единственности наличной математики. Только осознавая неединственность и странность современной математики, можно различить ее единство. Великие имена очень сходных деятелей слепят глаза и не позволяют различить в современности иные традиции. Математика время от времени пытается выработать иные пути развития, их надо отследить. Посмотрев на то. что возникало в математической мысли вопреки Ньютону; найти не тупиковые и бесплодные (с точки зрения победителей) взгляды, которые их творцам казались вполне плодотворными. Увидеть тупики как неосуществленные возможности.

Надо представить себе объем истории – исходя из которого и будет определяться будущее состояние математики. Пока известна лишь траектория современной математики, но не известно пространство возможностей, в котором проходит эта траектория. Для этого и следует отыскать не-единомышленников, выстраивавших математику иначе.

Для краткости я опустил полагающиеся извинения. Я – не математик, за слова свои ответственности не несу, доказывать их не буду: я только выразил мнение читателя, который раз открывающего книгу по истории математики и находящего даже в лучших – одно и то же: сказку для отличников