Пока решили оставить дискуссию тут.

Можно все таки продолжить список книг по разным геометриям, которые вы считатаете хорошими, а то пока еще не все перевели в электронный формат и скажем McDuff-Salomon мне не доступена.

Семинар Пале (не книга, а самo мероприятие) был уже после доказательства Атьей и Зингером теоремы? Серия их статей это 68-й год, а семинар был раньше...

Lawson & Michelson, Spinor geometry пока не отсканили, я собирался вместо неё почитать Gilkey Invariance theory, the heat equation, and the Atiyah-Singer index theorem. Далее у меня был план разобрать доказательство физиков при помощи SUSY QM (впрочем, его я уже и так понимаю) и его формализацию Гетцлером, плюс вклад B.Simonа в эту деятельность.

Вообще я не очень понимаю, сколько существует более-менее различных доказательств, ясно что у Гетцлера был иной подход, а вот что было до него?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Теорема была доказана в 63-м, а книга вышла в 65-м.

Кстати, хорошо бы такой обзор был, про разные подходы к доказательству т. Атьи-Зингера (или об индексе вообще).

Плюс есть очень милый Федосов в ВИНИТИ (в колхозе есть).

(Reply to this) (Parent)

Списки литературы. (Я не буду искать точные названия, ладно?)


Риманова геометрия:

Бураго & Залгаллер;

Cheeger & Ebin, Comparison theorems in riemannian geometry (out of print, хотя имеет репутацию исключительно хорошей книжки);

Громол, Клингенберг & Мейер, Риманова геометрия в целом;

Klingenberg, Riemannian Geometry - упор на задачи о геодезических, но это не та книжка, которая переведена на русский;

I. Chavel, R. G. (выходит второе издание);

P. Petersen, R. G. (выходит второе издание) - ориентирована на внутренние задачи римановой геометрии;

J. Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis (4 или 5 изданий за не более, чем 10 лет) - хороший подбор материала, но (судя по его другим книгам и статьям), очень неаккуратный автор, отчасти предпочитает формулы структурным объяснениям;

J. Lee, все тот же - начальные главы;

F. Morgan, Riemannian Geometry: A Beginner's Guide - автор, книги которого очень коротки; видимо, по ним можно получить общее представление о предмете, но не выучить его.


Симлектическая геометрия (топология):

McDuff & Salomon - две книги, одна - введение, другая про J-голоморфные кривые, инварианты Громова-Виттена и т.п.;

Hofer & Zehnder - подход с точки зрения гамильтоновых систем и емкостей;

M. Audin, J. Lafontain et al. - семинар по J-голоморфным кривым;

M. Audin, Torus actions etc. - симлектическая редукция, теорема Атийи-Гийемина-Стренберга, формула Дюйстрмаата-Хекмана.


Теорема Атийи-Зингера:

Пале, Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе - излагает первое доказательство, которое только там и опубликовано;

Атья-Зингер, Индекс эллиптических операторов I-V - все переведено на русский язык, исключительно хорошее изложение - это второе доказательство.

P. Gilkey - его книга существует в трех (?) вариантах; мне как-то не очень нравится, формулы заслоняют картину в целом; третье доказательство, основанное на уравнении теплопроводности;

Атья, Ботт & Патоди, Уравнение теплопроводности и теорема об индексе, Математика, Сб. переводов, начало 70-х - вариант того же доказательства (в статье есть какая-то небольшая ошибка, исправление опубликовано в Inventiones);

Lawson & Michelson, Spin Geometry - подробная книжка, излагающая второе доказательство;

Berline, Getzler & Verne - подробное изложение подхода, идущего от Гетцлера (и, через него, физиков) и (независимо) Берлин-Вернь; особой похвалы заслуживает устранение случайных процессов из работ Bismut'а (которому принадлежит так называемое "вероятностное доказательство").

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я как-то не уловил доказательство, основанное на уравнении теплопроводности придумал сам Gilkey? Или все-таки Атья, Ботт & Патоди?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

История подробно изложена во введении к упомянутой работе Атийи, Ботта и Патоди. Если кратко, то дело было так.

Идея использовать уравнение теплопроводности (в эквивалентной форме на языке дзета-функций) принадлежит Атийе и Ботту. Получающаяся формула для индекса очень сложна. МакКин (вероятностник!) и Зингер проанализировали случай эйлеровой характеристики (соответствующего оператора), обнаружили неожиданные сокращения в формуле, и вдвинули гипотезу, что в случае эйлеровой характеристики все сокращается. Патоди доказал, что все сокращается сначала в случае эйлеровой характеристики, а затем в случае теоремы Римана-Роха (которая явлется частным случаем теоремы об индексе). После этого Джилки сделал общий случай, а затем Атийя, Ботт и Патоди нашли более концептуальное доказательство, которое и изложено в их работе.

Патоди, видимо, был гениальным математиком вроде Рамануджана. Если бы он не умер так рано...

(Reply to this) (Parent)