А где эффективная процедура выбора конечного подпокрытия? Где эффективная процедура распознавания свойства системы окрестностей быть покрытием? Что вообще можно реально (помимо высоконаучного чесания языком) сделать с "топологическим" определением компактности?

А вот \(\varepsilon\)-сети вполне себе конструктивны. Так что пример, имхо, мимо цели.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Не вижу, чем эпсилон-сети более конструктивны,
чем открытые покрытия.
Что мешает по открытому покрытию эффективно
строить его конечное подпокрытие?

Мой пример со связностью, как я вижу,
вы проигнорировали.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Что мешает по открытому покрытию эффективно
> строить его конечное подпокрытие?

Как минимум, отсутствие эффективной процедуры распознавания покрытий среди систем открытых множеств. И это едва ли лечится: для конструктивного отрезка \([0,1]\) (который с "классической" точки зрения дырявый) заведомо имеются интервальные покрытия, из которых конечное подпокрытие не выделяется (т.н. сингулярные покрытия — наверняка слышали, если уж про неподвижные точки квадрата в курсе). Следовательно, такие покрытия мы считать "настоящими" не можем. Какие можем — непонятно. Можно, конечно, изначально потребовать для "настоящих" покрытий наличия конечного подпокрытия — но тогда само понятие компактности обессмысливается, превращаясь в тавтологию.

Что же касается сетей, то написать программу, перерабатывающую получаемое на входе натуральное число \(n\) в список рациональных чисел, образующих \(2^{-n}\)-сеть для отрезка \([0,1]\), я предоставляю Вам в качестве лёгкого упражнения :-)

> Мой пример со связностью, как я вижу,
> вы проигнорировали

Вы настаиваете, чтобы я признал, что фраза «любое непрерывное отображение пространства \(X\) в двухточечное пространство имеет одноточечный образ» не содержит слова "эпсилон"? Признаю, не содержит. Но база-то топологии всё равно определяется именно через эпсилоны.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Но база-то топологии всё равно определяется именно через эпсилоны.

Для метрических пространств — да.
Для топологических — нет.
К тому же топологию на метрическом пространстве можно
определить многими способами. Например, как
слабейшую топологию, при которой метрика непрерывна
по первому аргументу. И никаких эпсилонов.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> К тому же топологию на метрическом пространстве можно
> определить многими способами. Например, как
> слабейшую топологию, при которой метрика непрерывна
> по первому аргументу. И никаких эпсилонов.

Интересно только, как на основе такого определения получить хоть один мало-мальски содержательный результат про метрические пространства, предварительно не доказав, что эта слабейшая — та самая, что вводится через эпсилоны.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Не вижу смысла доказывать что-то про метрические
пространства, если можно сразу доказать тоже самое
утверждение в общей топологии на более простом
и понятном языке открытых множеств.
Зачем самому создавать себе трудности?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А зачем объяснять простые вещи через сложные? Эпсилон — это число, т.е. объект весьма простой природы. А открытое множество (когда пытаешься начать работать с ним по-настоящему, а не языком) — вещь зело нетривиальная. Попробуйте-ка задать сходу тип данных "открытое множество" в каком-нибудь языке программирования.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Попробуйте-ка задать сходу тип данных "открытое множество" в каком-нибудь языке программирования.

Простота задания какого-либо объекта в программировании
никак не кореллирует с его простотой в математике.
Это и понятно, потому что математика — не программирование.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> математика — не программирование.

Разумеется, математика — это не программирование, а наука о программировании и связанных с ним закономерностях. Но я абсолютно не вижу, что эта поправка меняет в рассматриваемом контексте.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Наука о программировании и связанных с ним закономерностях — это computer science.

На примере теоремы Лефшеца я уже продемонстрировал,
что содержательная математика ею не исчёрпывается.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Простите меня, убогого, но в моей слабой голове не укладывается, как может быть "содержательной" теорема, опровергнутая на контрпримере.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Контрпример, который я привёл, опровергает
конструктивный вариант теоремы Лефшеца.
Обычная теорема Лефшеца, конечно, остаётся верной,
более того, находит содержательные применения в физике
конденсированных сред.

(Reply to this) (Parent)