>То, о чем вы говорите, формулируется так: отображение замыкания множества A является подмножеством замыкания отображения A.

По-моему, это совсем другое. При чём здесь замыкания?

Ещё раз: непрерывное отоброжение — это отображение, обладающее следующим интуитивным свойством: для любой точки x и для любой точки y достаточно близкой к x мы имеем, что f(y) сколь угодно близко к f(x).
Формализация понятия множества точек, близких к x —
это окрестность точки x. Поэтому интуитивное свойство
переформулируется так: прообраз окрестности точки f(x)
есть окрестность точки x. Что такое открытое множество?
Это множество, которое является окрестностью каждой
своей точки. Поэтому предыдущее определение
можно освободить от упоминания точки x и сказать,
что прообраз открытого открыт.
Из определения через окрестности можно получить
эпсилон-дельта определения. Окрестность меняется
на открытый шар. Но здесь есть тонкость:
открытые шары всего лишь образуют базу,
поэтому следует сказать, что прообраз открытого
шара с центром в точке f(x) содержит в себе
открытый шар с центром в x.
Это определение менее понятно.
А если учесть, что аналитики не упоминают
открытые шары, а вместо этого всё раскрывают,
то вообще ужасно.

>Но из этого настолько легко вытекает частный случай дельта-эпсилонов, что вопрос учить их или нет мне кажется дурацким.
Проблема заключается не в этом определении,
а в том, что всё дальнейшее изложение анализа
тоже ведётся на языке эпсилон-дельта.

>Хоть и выводится из предыдущей за один шаг.
Как и формулировка с эпсилон-дельта.

>Что имеется в виду?
Имеется ввиду, что теорию меры следует преподавать
с привлечением аппарата функционального анализа по схеме Даниэля,
без использования архаичных теоретико-множественных конструкций.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Если выкинуть начало вашего рассуждения, которое является формулировкой дельта-эпсилона, то у вас остается:

Поэтому интуитивное свойство
переформулируется так: прообраз окрестности точки f(x)
есть окрестность точки x. Что такое открытое множество?
Это множество, которое является окрестностью каждой
своей точки. Поэтому предыдущее определение
можно освободить от упоминания точки x и сказать,
что прообраз открытого открыт.
Громоздко; чтобы понять приходится действовать от противного, воображать в прообразе точки без окрестности и посылать это все опять через функцию. Это не так элементарно как дельта-эпсилон.

Я же имел в виду:
А замыкание множества А - это точки предельно близкие к множеству А, они отображаются в замыкание отображения А, т.е. никуда не удаляются.
А отсюда уже главное определение элементарно выводится. По сути, разделяет понимание на две части. (Я знаю, как определяется замыкание, но так понимать новичкам удобней).


Весь анализ излагать дельта-эпсилоном - конечно маразм, но и забывать их не стоит, разрабатывает технику, они ведь и нужны бывают. В конце концов если студент на своем 30ом доказательстве не может самостоятельно заменить одно на другое где это возможно, это его проблемы.

Я тоже два года назад удивлялся глупости вводных курсов по различным предметам, но это признак хорошей математики, она так аккуратно укладывается в голове, что потом поражаешься: "ЧТО я мог с таким усердием учить весь прошлый год, все ведь очевидно!" Но потом я стал внимательнее следить за учебным процессом и пришел к выводу, что не все, что кажется избыточным сейчас, стоило исключать с самого начала. Кое-что, конечно, следовало бы...


Про меры я так и не понял, я видимо не видел одного из двух вышеперечисленных способов.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>они ведь и нужны бывают.
Можете привести пример, где с дельта-эпсилонами становится
проще, чем без них?

>Про меры я так и не понял, я видимо не видел одного из двух вышеперечисленных способов.
http://en.wikipedia.org/wiki/Daniell_integral

>Я же имел в виду:
А замыкание множества А - это точки предельно близкие к множеству А, они отображаются в замыкание отображения А, т.е. никуда не удаляются.
А отсюда уже главное определение элементарно выводится.

Конечно, эти определения равносильны.
В принципе, можно излагать и так, но тогда, видимо,
всю топологию следует излагать на языке замыканий.
Просто открытые множества чаще используются.

>По сути, разделяет понимание на две части. (Я знаю, как определяется замыкание, но так понимать новичкам удобней).

Можно пояснить, что это за две части?

>чтобы понять приходится действовать от противного, воображать в прообразе точки без окрестности и посылать это все опять через функцию

Этого я совсем не понял. Что означает словосочетание
«воображать в прообразе точки без окрестности»?.

>Если выкинуть начало вашего рассуждения, которое является формулировкой дельта-эпсилона, то у вас остается:

Это совершенно неверно.
Математики 18 века мыслили именно в таких терминах,
и никаких дельта-эпсилонов вообще не упоминали.
Дельта-эпсилон — лишь один из возможных
вариантов формализации, далеко не самый лучший.
Я привёл другой вариант, более понятный.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

1) Это верно по той причине, что
для любой точки x и для любой точки y достаточно близкой к x мы имеем, что f(y) сколь угодно близко к f(x)*
самым прямым путем переводится в "для любой окрестности f(x) мы можем найти окрестность x такую, что она попадает в выбранную окрестность f(x)", что и есть обобщенный дельта-эпсилон. А самое удобное определение - прообраз открытого открыт - получается из * посредством еще одного шага, рассуждая от противного мы представляем, что в прообразе есть точка, ни одна окрестность которой не лежит в прообразе, и тогда * для этой точки не выполняется.
Разница в один шаг, но она есть, меня это немного смущает. Судя по всему, это происходит из-за наличия inverse image в удобном определении. Людям легче воспринимать прямые отображения чем обратные. Чтобы это устранить (всегда лучше, когда наиболее удобное является наиболее интуитивным), возможно стоит заменить функции более общими теоретико-множественными конструкциями еще со школы, но это, скорей всего, вредоносно.


Можете привести пример, где с дельта-эпсилонами становится
проще, чем без них?
2) Я не имел в виду конкретно непрерывность, а технику работы с подобными (для любого эпсилона выполняется какое-то неравенство) вещами вообще.
Судя по вашему замечанию, вы считаете, что нет ни одной полезной теоремы, использующей непрерывность в метрических пространствах на полную мощность?

3)Про интегралы понятно. Я видел, как интеграл Лебега определяется через расширение функционала с непрерывных функций, определенный через интеграл Римана. Но и видел через меру Лебега. Не могу сказать, что один из этих способов мне показался уродским, но я плохо знаю эту тему пока. Через годик, я думаю, у меня это в голове прояснится.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Разница в один шаг, но она есть, меня это немного смущает.

Теперь я понял, что имелось ввиду.
Хорошо, если не нравится так, то можно говорить,
что прообраз окрестности есть окрестность
(ну, или так как вы сформулировали выше).
С другой стороны, при изучении общей топологии предполагается,
что уже хорошо усвоена теория множеств, поэтому
никаких проблем с обратным образом не должно возникать.
Во всяком случае, без эпсилон-дельт всё равно становится проще.

>Я не имел в виду конкретно непрерывность, а технику работы с подобными (для любого эпсилона выполняется какое-то неравенство) вещами вообще.

Не обязательно приводить пример с непрерывностью.

>Судя по вашему замечанию, вы считаете, что нет ни одной полезной теоремы, использующей непрерывность в метрических пространствах на полную мощность?

Не понимаю, о чём речь. Все или почти все интересные
теоремы про метрические пространства верны
в общем случае (для топологических или равномерных)
и доказываются там проще (следствие принципа Гротендика:
чем более общий характер имеет результат, тем проще
он доказывается).

Но я готов рассматривать конкретные примеры.

В принципе, я не имею ничего против метрических пространств,
я только против того, чтобы непрерывность (и некоторые
другие простейшие понятия общей топологии) рассказывать
на языке эпсилон-дельта.

(Reply to this) (Parent)