> Пожалуйста, вот явная конструкция:
> возьмём сумму по всем натуральным k
> чисел 2^(-k) A(k,k), где A(k,k) — результат
> применения машины Тьюринга с номером k к числу k

Чё-то моя не понять: кто-то отменил неразрешимость (а тем самым и нетотальность) области определения Вашего A?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Чё-то моя не понять: кто-то отменил неразрешимость (а тем самым и нетотальность) области определения Вашего A?

Именно. У нас есть явно определённое число,
которое невычислимо.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Хм. А я-то, идиот, всегда считал, что сумму может иметь только такой ряд, у которого все члены определены :-( Век живи, век учись...

Вы точно не подразумевали под \(A(k,k)\) что-то вроде «\(0\) если k-ая машина несамоприменима, 1 — если самоприменима»?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Вы точно не подразумевали под \(A(k,k)\) что-то вроде «\(0\) если k-ая машина несамоприменима, 1 — если самоприменима»?

Именно это я и имел ввиду. Результат самоприменимости как раз и обозначет это число.
А какой ещё смысл можно придать этому выражению?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> А какой ещё смысл можно придать этому выражению?

Тот, который Вы изначально и обрисовали: результат применения машины с k-ым номером к числу k. Если машина "виснет", то этот результат попросту не определён.

А в описанном мной случае мы получим давно и прекрасно известное шпекерово псевдочисло. Замечательная во всех отношениях штука, хотя и не КВЧ. Но вот почему это псевдочисло является вещественным числом в смысле "классического" определения, мне по-прежнему не очень понятно (см. параллельные ветки).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Тот, который Вы изначально и обрисовали: результат применения машины с k-ым номером к числу k. Если машина "виснет", то этот результат попросту не определён.

Очень интересно. Если, скажем, результатом работы алгоритма
является строка, то как, по-вашему, я умножаю её на 2^(-k)?
Поскольку недоразумение устранено, предлагаю оставить этот вопрос.

>А в описанном мной случае мы получим давно и прекрасно известное шпекерово псевдочисло. Замечательная во всех отношениях штука, хотя и не КВЧ. Но вот почему это псевдочисло является вещественным числом в смысле "классического" определения, мне по-прежнему не очень понятно (см. параллельные ветки).

В смысле? Я уже дал явную формулу: \sum_k 2^(-k) A(k,k).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> В смысле? Я уже дал явную формулу: \sum_k 2^(-k) A(k,k).

Эта "явная формула" задаёт некий объект, и не более. Почему этот объект является именно вещественным числом? Как это установить, исходя из "классического" определения вещественного числа?

Тут, кстати, есть ещё один нюанс. Обычная практика работы с ZF — формальный вывод утверждений вроде "существует x такое, что бла-бла-бла". Если Вы подразумеваете такой же стиль работы с Вашим рядом (т.е. предъявление формального вывода экзистенциального суждения о наличии у Вашего ряда суммы), то я с кислой миной попрошу Вас эту сумму всё же предъявить (а не просто сослаться на "доказательство" того, что она "есть"). Если Вы после этого скажете, что понимаете под вещественными числами выводимые в ZFC формулы вида \((\exists x) (R)\land (A)\), где \(R\) — формула ZFC, отвечающая однопараметрическому суждению «\(x\) является вещественным числом», а \(A\) — произвольная однопараметрическая формула языка ZFC (Вы, кстати, не это ли и имели в виду, говоря про "задание вещественных чисел формулами ZFC"?), то я с прискорбием вынужден буду констатировать, что для множества таких вещественных чисел аксиомы вещественной прямой на самом-то деле всё равно не выполняются. Куда ни кинь, всюду "классическому" анализу клин.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Эта "явная формула" задаёт некий объект, и не более. Почему этот объект является именно вещественным числом? Как это установить, исходя из "классического" определения вещественного числа?

Очень просто: из этой суммы тривиальным образом получается
фундаментальная последовательность, посколько k-ый
член мажорируется 2^(-k). Если нам дали эпсилон, больший,
чем 2^(-l) для какого-то l, то в ответ мы выдаём l. Вот и всё.

(Reply to this) (Parent)