Если ошибка произойдёт в АСУ ядерным боезапасом США, то "другого раза" может уже и не быть :-) Но главное даже не это. Главное то, что Вы никогда не сможете абсолютно чётко провести границу между числами "хорошими" и числами "плохими". Вы киваете на 10^(10^6)? Ну, так ведь одно из двух:

1) Либо Ваш текст есть не само число, а описание порождающего оное процесса. Тогда, раз этот процесс не доводится "в железе" до победного конца, то никакого числа Ваш текст не определяет — а раз так, то и "границей" никакой не является!

2) Либо Ваш текст есть само число (т.е. натуральные числа — это не набор палочек, а выражения более сложной природы). Тогда непонятно, а что в нём такого ужасного: девять байтов, с которыми прекрасно можно работать. Т.е. это опять же никакая не граница.

Итак, при любом из указанных раскладов "финитисты" заходят в порочный круг. Давно известный, кстати. Как выкручиваться будем?

> Зато у финитистов (так я буду называть информатиков
> и feasibility-believers) всё чётко:
> сложение натуральных чисел меньших 10^(10^6) коммутативно.
> И если им дают два таких числа, то пожалуйста,
> они запускают машину и демонстрируют, что здесь
> всё вполне материально.

У конструктивистов ещё более чётко: сложение любых двух чисел, которые можно сложить в любом порядке на рассматриваемой машине, коммутативно. Берём и проверяем. Переполнение получили? Копыта откинули, не дождавшись ответа? Ну, извините: вот как раз про такие случаи мы ничего и не обещали.

> Но ведь и на практике никому не надо складывать
> любые натуральные числа, а надо
> складывать весьма и весьма ограниченные числа.

"Любые" — это и означает "любые, которые надо". А ещё точнее — "любые, которые сможем сложить на рассматриваемой машине". Так что этот пассаж вообще мимо цели.

> И не надо привлекать никакой схоластики, вроде
> абстракции потенциальной осуществимости или
> подсчёта количества ангелов на кончике иглы.

К сожалению, математика — это наука, а не сборник протоколов о выполненных конкретных вычислениях. А наука оперирует общими утверждениями, которые всегда абстрактны. И оттого, что на этот фактик кому-то "удобно" закрыть глаза, он не исчезает. Кстати, именно поэтому наибольшие крикуны против схоластики обычно сами же и оказываются наибольшими схоластами: обойтись без абстракций вообще не получается, а их анализа они проводить не умеют :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Главное то, что Вы никогда не сможете абсолютно чётко провести границу между числами "хорошими" и числами "плохими".

Очень даже могу. Допустимы те числа, которые мы можем
материально представить на доступных нам машинах.
Естественно, эта граница меняется со временем.

>Либо Ваш текст есть не само число, а описание порождающего оное процесса. Тогда, раз этот процесс не доводится "в железе" до победного конца, то никакого числа Ваш текст не определяет — а раз так, то и "границей" никакой не является!

Текст 10^(10^6) есть описание процесса.
И этот процесс очень даже доводится до победного конца.
Или вы считаете, что машине проблематично
выписать единицу, за которой следует миллион нулей?

>У конструктивистов ещё более чётко: сложение любых двух чисел, которые можно сложить в любом порядке на рассматриваемой машине, коммутативно. Берём и проверяем. Переполнение получили? Копыта откинули, не дождавшись ответа? Ну, извините: вот как раз про такие случаи мы ничего и не обещали.

Уточняющий вопрос.
Возьмём числе Грехема. Обозначим его G.
Имеет ли в конструктивной математике смысл следующее
тождество: 2G + 3G = 3G + 2G?

>"Любые" — это и означает "любые, которые надо". А ещё точнее — "любые, которые сможем сложить на рассматриваемой машине". Так что этот пассаж вообще мимо цели.

Очень интересно. В таком случае, поясните пожалуйста,
как здесь используется абстракция потенциальной осуществимости.
И используется ли она здесь вообще?

>К сожалению, математика — это наука, а не сборник протоколов о выполненных конкретных вычислениях. А наука оперирует общими утверждениями, которые всегда абстрактны. И оттого, что на этот фактик кому-то "удобно" закрыть глаза, он не исчезает. Кстати, именно поэтому наибольшие крикуны против схоластики обычно сами же и оказываются наибольшими схоластами: обойтись без абстракций вообще не получается, а их анализа они проводить не умеют :-)

А что, я выступаю против абстракций? Вовсе нет.
Например, в финитизме используется абстракция
свободы от ошибок.
Финтизм выступает только против тех абстракций,
которые не имеют за собой материального основания,
вроде абстракции потенциальной осуществимости.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Допустимы те числа, которые мы можем
> материально представить на доступных нам машинах.
> Естественно, эта граница меняется со временем.

Если добавить к этому фразу "и допустимы те операции с числами, которые мы можем провести на доступных нам машинах" — получится в точности позиция конструктивной математики. Так что тогда не так-то?

> Обозначим его G.
> Имеет ли в конструктивной математике смысл следующее
> тождество: 2G + 3G = 3G + 2G?

Нет, не имеет. Потому что в выписанном Вами тексте это просто буква (а как умножать буквы на натуральные числа — непонятно). Чтобы получить нечто осмысленное, надо либо подставить вместо обозначения G собственно обозначаемое число (а за это Вы вроде не берётесь), либо честно признать, что речь идёт не непосредственно о Вашем тожестве, а об арифметической формуле вида \(\exists x (G(x))\land (2x+3x=3x+2x)\), где через \(G\) обозначен предикат "быть числом Грехема". Формула же сия имеет зело ясный смысл (и обсуждать можно только проблему верности этой формулы с точки зрения оного смысла).

> В таком случае, поясните пожалуйста,
> как здесь используется абстракция
> потенциальной осуществимости.
> И используется ли она здесь вообще?

Боже, ниспошли мне терпения :-( В триста тридцать третий китайский раз повторяю: все реально запускаемые нами вычислительные процессы мы делим на два сорта — те, которые не наталкиваются на границы наших конструктивных возможностей, и те, которые наталкиваются. Процессы первого сорта мы рассматриваем в конструктивной математике (и для таких процессов её выводы прекрасно работают). Процессы второго сорта мы не рассматриваем в оной (а потому утверждение, что для таких процессов выводы КМ могут разойтись с реальностью, не говорят ничего: тут мы ничего и не обещали). Вот эта-то "фильтрация" вычислительных процессов и есть абстракция потенциальной осуществимости. А каким образом эта "фильтрация" осуществляется в каждом конкретном случае, для каждой конкретной машины — это другой вопрос. Важный, интересный, но другой.

Что в сказанном "не имеет материального основания"?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Тогда всё становится ещё проще.
Является ли программа, вычисляющая число Грехема,
конструктивным натуральным числом?

Что касается остальное, то andrey_bovykin@lj
формулирует гораздо более содержательные вопросы:
http://bbixob.livejournal.com/75286.html?thread=680982#t680982

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Является ли программа, вычисляющая число Грехема,
> конструктивным натуральным числом?

Нет, не является. Зато теоремой конструктивной математики является утверждение, что при наличии достаточного количества ресурсов эта программа будет результативной. Точно так же, как другой теоремой этой же самой конструктивной математики является утверждение, что для современной вычислительной техники оных ресурсов не хватит (в этом отношении КМ вполне разделяет Ваш подход к вопросу: Вы тоже не брали это число "в железе", а охарактеризовали его перечислением неких свойств, после чего теоретически заключили, что среди "относительно осязаемых" чисел объекта с требуемыми свойствами не имеется).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)

Кстати, может быть, Вам будет интересен блог о "perceptions of infinity in mathematics", его ведут логик-групповик (группы Морли) и фолософ, по гранту христианской организации Templton foundation :

http://dialinf.wordpress.com/

(Reply to this) (Parent)