смотрим на кривые
Человеческий глаз очень плохо приспособлен к анализу выпуклости кривых. Выше-ниже, растет-падает на графиках видно хорошо, а с выпуклостью, знаком второй производной, нетренированный глаз справляется куда хуже. У меня, похвастаюсь, глаз к этому тренированный, потому что я 11 часов в день пялюсь в кривые, где выпуклость и даже изменения выпуклости очень важны.

Вот тут возник спор о том, как меняется содержание CO2 в атмосфере последние полвека, эспоненциально или линейно (график, данные). Некоторые обсуждающие считали, что, если линейно, то это делает маловероятным антропогенный характер изменений, потому что всякая промышленность и население растут экспоненциально. Это утверждение мне, кстати неочевидно, но это неважно, потому что ясно, что рост там суперэкспоненциальный. Один из участников дискуссии в другом треде попросил меня объяснить, почему это мне очевидно.

Update 2: удивительным образом, после обмена многими десятками комментариев выяснилось, что наиболее горячие противники идеи об экспоненциальном росте не знакомы с определнием "экспоненциального роста", которое было бы применимо к подобным экспериментальным данным.

По определению, временной ряд имеет экспоненциальный рост если его логарифм имеет линейный рост. Это определение эквивалентно постоянному периоду удвоения.

Линейный рост обычно определяют как значимость положительного коэффициента при наклоне и незначимость коэффициента при "нелинейном" члене в соответствующей случаю регрессии. Суперэкспоненциальный рост определяют через более быстрый, чем линейный рост логарифма, то есть, значимо положительный коэффициент при нелинейном выпуклов вверх члене регрессии.




Update 1: картинки заменены линками для облегчения траффика.

1. Берем данные по ссылке. Работать будем с последним столбцом, кототрый отличается от простого среднего за год тем, что авторы использовали чуть более сложную фильтрацию. Выкидываем первый год, где слишком много наблюдений пропущено.


Fig 1

2. Рисуем график Fig 1. Видим: кривая выпукла вниз, она лежит ниже красной хорды, а нарисованное внизу отклонение от ближайшей к ней (зеленой) прямой имеет ярко выраженную чашеобразную форму. Видим, что, помимо роста, есть компонента высокой частоты, поэтому ни на какую простую кривую в точности наши данные не лягут. Но можно говорить об общем характере роста. Рост со временем ускоряется, но это еще не говорит об экспоненциальном росте.


Fig 2

3. Нарисуем теперь график логарифма концентрации Fig 2. Если изменение концентрации приближенно описывается какими-нибудь медленно растущими функциями, например, линейными, то этот график будет выпуклым вверх - лежать выше достаточно длинных отрезков, соединяющих его точки. Если оно описывается двумя склеенными кусками таких функций, мы увидим две склеенных выпуклых вверх кривых. Мы же видим кривую, лежащую заметно ниже таких отрезков (показанных красным цветом). Значит, рост быстрее, чем экспоненциальный. Быстрее ли рост, чем exp(exp(время))?

Fig 3

4. Построим для этого третью картинку, график log(log(концентрации)), Fig 3. Поскольку и он более-менее выпукл вниз, и, большей частью, лежит ниже своих красных хорд, мы имеем дело точно с суперэкпоненциальным ростом, и, возможно, даже двойным экпоненциальным exp(exp(время)).



А если кто статистические тесты любит больше графиков, ему сюда. Результат там тот же самый.