Еще один вариант состоит в том, что фейнмановский интеграл имеет смысл, но не как величина, сопоставляемая формуле, которая выписывается как его подынтегральное выражение, а как величина, сопоставляемая некой гораздо более богатой информации, с которой ассоциируется в сознании физика эта формула, но которую он формализовать не может.

Вероято, так и есть. Отсюда и проблема коммуникации. С другой стороны, это просто другой (лучше, чем мой) способ сказать, что интеграла Фейнмана нет - есть разные ситуации, с разной скрытой физической информацией, которые в силу исторических обстоятельств доходят до нас (математиков) в этой упаковке.