Это действительно интересно. Мне кажется, что только возня с интегралом Фейнмана. Реально, все интересное идет от Виттена, и это один этот прием. Конечно, мне не следует делать слишком категорические утверждения, я недостаточно хорошо знаю предмет. Но Манин, несомненно, знает очень хорошо.

"Например, если дело сводится к тому, что пользуясь идеей функционального интеграла, можно получать математически осмысленные выводы и верные гипотезы, то почему эту деятельность до сих пор не освоили люди с чисто математическим бекграундом?"

Возможно, проблема в коммуникации. Нет изложения, доступного математикам. Математик может жить без конструкции интеграла Фейнмана, если ему четко скажут, как с ним обращаться.

Другой вариант - никакого интеграла Фейнмана в природе нет, есть несколько разрозненных приемов его вычисления, и все аналогичные приемы скоро будут исчерпаны.

Еще один вариант состоит в том, что фейнмановский интеграл имеет смысл, но не как величина, сопоставляемая формуле, которая выписывается как его подынтегральное выражение, а как величина, сопоставляемая некой гораздо более богатой информации, с которой ассоциируется в сознании физика эта формула, но которую он формализовать не может.

Вероято, так и есть. Отсюда и проблема коммуникации. С другой стороны, это просто другой (лучше, чем мой) способ сказать, что интеграла Фейнмана нет - есть разные ситуации, с разной скрытой физической информацией, которые в силу исторических обстоятельств доходят до нас (математиков) в этой упаковке.