Решение задач
Задачи 1:
Обозначим знаменатель через a, числитель через b, введем дополнительную веричину c=11(...2007 раз...)11.
Заметим, что a-b=c*(10^8) и a-10b=c.
Вычнем из первого уравнения второе, получим 9b=c*((10^8)-1).
Теперь первое уравнение умножим на 10 и снова вычтем второе, получим 9a=c*((10^9)-1)
Разделим 9b на 9a, с одной стороны это будет равно исходной дроби (девятки сократятся) с другой же стороны это будет равно ((10^8)-1)/((10^9)-1)=1111111/11111111
Это хрестоматийное решение. Классическое.
Его, среди моих читателей, сумели получить sergeifr и ppkk
Но забавнее всего то, что в школах, где был этот пробный ЕГЭ эта задача разбиралась так как ее решил qubik (здесь), не в обиду последнему будет сказано.
Оно, канешна, решение, но то ли МЦНМО забыло разослать методички в школы, то ли им самим хрестоматийное решение не известно.


Задачи 2:
Задача широкого отклика не получила. Оно и понятно, никто по доброй воле такие задачи решать не будет.

Формализируем условие: p*(10^n)+(2^m)=2^k
или p*(10^n)=(2^k)-(2^m) (очевидно, что k>m
или p*(10^n)=(2^m)((2^k)-1)

Решим задачу для случая p=1, это базовый случай.
(2^n)(5^n)=(2^m)((2^k)-1)
Среди множетелей второй скобки левой части не может быть двоек, поэтому, чтобы равенство соблюдалось должно быть m=n/
Сократим.
(5^n)+1= 2^k
Заметим, что левая часть никогда не делится на 4, а правая делится почти всегда, значит решения нужно искать среди тех k при которых правая часть не делится на 4, то есть k=1 и k=0, для k=0 решений нет, для k=1 n=0, но n=0 означает, что исходное число состоит из одной цифры, а это нас не устраивает.

Точно такой же ход решения для p=2,4,5,8
Для p=9 есть один дополнительный ход: нужно показать, что 9*(5^n) так же как и (5^n) всегда имеет от деления на 4 остаток равный единице.

Несколько иначе дело обстоит с p=3,6.
Из базового решения понятно, что случай p=6 в целом эквивалентен случаю p=3.
Поэтому для него и решим.
3*(5^n)=(2^k)-1
Заметим, что правая часть делится на три при четных k, тогда k=2j и разложим по разности квадратов
3*(5^n)=((2^j)-1)((2^j)+1)
Одновременно скобки левой части не могут делиться на 5, поскольку их разность равна 2.
Следовательно, одна скобка равна 3, а другая - степень пятерки. Варианта два j=1 и j=2, но в первом варианте n=0, он нас не устраивает.
j=2 дает k=4, m=5, n=1, то есть исходное число равно 32.
Когда p=6, это приводит к удвоение решения для p=3, то есть 64.

Случай p=7.

7*(5^n)=(2^k)-1
Заметим, что правая часть делится на 7 только когда k делится на 3 (анализ остатков, как и ранее). Введем замену z=2^(k/3) и разложим правую часть по разности кубов: (z-1)(z^2+z+1).
Заметим, что скобка с квадратом z никогда не делится на 5 (анализ остатков), значит она равна семи. Это возможно, когда z=2, но тогда n=0, что нас снова не устраивает.