А, я понял. Из алгебраичности K над К' следует, что т.к. генераторы L' (из К') алгебраически независимы над К', то они независимы и над K. (сводится к случаю конечного расширения, для сепарабельного конечного расширения доказывается с помощью теории Галуа случай несепарабельного расширения сводится к сепарабельному) Поэтому равенство $\sum b_i a_i = 0$ выполняется как полиномиальное равенство над К (с коэффициентами $b_i$ лежащими в K'). Осталось выбрать моном, входящий (с ненулевмым коэффициентом) в один из $b_i$, обозначить $c_i$ коэффициент этого монома в $b_i$, и получить $\sum c_i b_i = 0$.