R не имеет нетривиальных автоморфизмов, только рассматриваемое вместе с дополнительной структурой --линейным порядком или топологией (мы тогда рассматриваем только те автоморфизмы, которые сохраняют эту структуру -- их мало). Если же взять R как абстрактное сборище элементов, то автоморфизмы у него есть.

Таким образом, каждое из 2^c подполей в C, изоморфных R, будет выглядеть не как континуальная кривая, а будет "рассыпано" в C.

Я до сих пор не понял, откуда следует сказанное мне french_man утверждение, что все субполя конечно генерируемого поля конечно генерируемы.

Я тоже этого не понял.

Я имею в виду R как поле. Линейный порядок на нем определим так: a больше или равно b если a-b — квадрат какого-то элемента.

Да, вы правы, я погорячился. У R нет автоморфизмов, отличных от тождественного. Зато у C автоморфизмов много! И именно потому, что C нельзя хорошо упорядочить (согласованно с операциями).

Пусть f - эндоморфизм поля R. Тогда f(0) = f(0-0) = f(0)-f(0) = 0. Предположим, что f(x) не тождественно равен нулю, тогда есть a такое что f(a)!=0, значит, f(1)=f(a/a)=f(a)/f(a)=1. Пусть f(n)=n, тогда f(n+1)=f(n)+f(1)=n+1, следовательно, по индукции f(n)=n для любого натурального n, отсюда следует, что f(q)=q для любого рационального q. если x>0, то f(x)=f(sqrt(x)^2)=[f(sqrt(x))]^2>0. Допустим, для какого-то x f(x)<x, тогда можно выбрать рациональное q так что f(x)<q<x, тогда x-q>0, а f(x-q)=f(x)-q<0, вопреки доказанному. Аналогично показываем, что f(x)>x невозможно, значит, f(x)=x для всех x.

Ну вот довольно корявое доказательство. Наверняка упрощается.

Пусть F - поле, L - конечно порожденное расширение F, и К - промежуточное поле (содержит F и содержится в L). Докажем, что K конечно порождено над F.

Пусть K' - максимальное чисто трансцендентное над F подполе поля К, и L' -максимальное чисто трансцендентное над K' подполе поля L. Тогда K алгебраично над K' и L алгебраично над L'. Так как L конечно порождено, то степень трансцендентности L над F конечна, и то же верно для степеней трансцендентности (над F) полей L' и K'. Осталось доказать, что K - конечное алгебраическое расширение поля K'.

По индукции, можно считать что степень транцендентности L' над K' равна 1, т.е. L'=K'(t). Мы можем также считать, что поле K' бесконечно, т.к. в противном случае утверждение очевидно.

Так как L конечно порождено, то L - конечное алгебраическое расширение поля L'. Пусть n - его степень. Докажем, что [K:K']≤n. Пусть a_0,..., a_n элементы поля К. Надо доказать, что они линейно зависимы над K'. По определению числа n, элементы a_0,..., a_n линейно зависимы над L'. Это значит, что существуют b_0,..., b_nєL'такие, что

b_0a_0+...+b_na_n=0,
и не все b_0,..., b_n равны 0. Будем считать, что b_0≠0.

Впомним теперь, что L'=K'(t), и, значит, b_0,..., b_nєK'(t). Более того, умножая на общий знаменатель, мы можем считать, что b_0,..., b_nєK'[t].

Так как поле K' бесконечно, найдется такое cєK' такое, что b_0(c)≠0.Получаем нетривиальное линейное соотношение

b_0(c)a_0+...+b_n(c)a_n=0,
т.е. a_0,..., a_n линейно зависимы над K'.

Спасибо. А как из конечности К' следует конечность или конечная порождаемость К? (Что если К' конечно, а К - его алгебраическое замыкание?) И где у Вас используется предположение, что a_0,...a_n принадлежат к K? По-моему, замена b_0 на b_0(c) некорректна: пусть a_0=t, a_1=t^2+t, b0=t+1, b1=-1, c=0, получим t - (t^2+t)=0. Вместо предположения что L'=K'(t) можно использовать теорему о том, что любой ненулевой полином (с несколькими переменными) над бесконечным полем принимает ненулевые значения.

>как из конечности К' следует конечность или конечная порождаемость К?

Доказано, что К' конечно порождено над F, а К конечно порождено над К'. Значит, К конечно порождено над F.

>(Что если К' конечно, а К - его алгебраическое замыкание?)

Алгебраическое замыкание не является конечным расширением конечного поля.

>И где у Вас используется предположение, что a_0,...a_n принадлежат к K?

Я попросту доказываю, что любые n+1 элементов поля К линейно зависимы над К'.

>По-моему, замена b_0 на b_0(c) некорректна: пусть a_0=t, a_1=t^2+t, b0=t+1, b1=-1, c=0, получим t - (t^2+t)=0.

Нет же. a_0,...a_n - элементы поля К. Они алгебраичны над К' и не могут быть многочленами (которые трансцендентны).

>Вместо предположения что L'=K'(t) можно использовать теорему о том, что любой ненулевой полином (с несколькими переменными) над бесконечным полем принимает ненулевые значения.

Разумеется.

Доказано, что К' конечно порождено над F, а К конечно порождено над К'. Как доказано, что К конечно порождено над К' (в случае, когда К' конечно?)

А ведь действительно, если K' конечно, то не работает доказательство того, что K:K' имеет конечную размерность.

К' -- это чисто трансцендентное расширение поля F, поэтому если оно нетривиальное, поле K' будет бесконечным (изоморфно полю рациональных функций от некоторого множества переменных). Поэтому K' может быть конечным только если K'=F -- конечное поле. В этом случае K будет алгебраическим расширением F, и нужно показать, что оно будет конечно порождено.

Тут должен быть какой-то аргумент, который показывает, исходя из алгебраичности
a_i, что b_i могут быть выбраны так, что они принадлежат к.

А я ещё не понял фразу:

По индукции, можно считать что степень транцендентности L' над K' равна 1, т.е. L'=K'(t).

Это есть база индукции? А какой будет индуктивный шаг?

А, я понял. Из алгебраичности K над К' следует, что т.к. генераторы L' (из К') алгебраически независимы над К', то они независимы и над K. (сводится к случаю конечного расширения, для сепарабельного конечного расширения доказывается с помощью теории Галуа случай несепарабельного расширения сводится к сепарабельному) Поэтому равенство $\sum b_i a_i = 0$ выполняется как полиномиальное равенство над К (с коэффициентами $b_i$ лежащими в K'). Осталось выбрать моном, входящий (с ненулевмым коэффициентом) в один из $b_i$, обозначить $c_i$ коэффициент этого монома в $b_i$, и получить $\sum c_i b_i = 0$.