Могу, но отвечу. Вы, похоже, не разделяете выражения "остаться ни при чем" и просто "не/ни при чем". Это могут быть разные вещи.

В любом случае, "Вас не примут в институт не потому, о чем вы думаете! Кстати, "потому, о чем" - вместе или раздельно?" (с) ММЖ. Иначе говоря, те правила, на которые Вы ссылались изначально в этом случае - о правописании без и под ударением - в этом случае неприменимы. Впрочем, в то время когда я ходила в школу, "сыронизировать" писалось через Ы, а "кофе" был мужского рода - сейчас, как я понимаю, оба эти правила не то изменили, не то собираются изменять?

И почему же они неприменимы?