| 12:47a |
пусть у нас есть пространство гладких отображений окружности в R^3, сохраняющих длину (пока не факторизуем по поворотам, не факторизуем по изометриям R^3).
пусть X,Y два нормальных векторных поля на так погруженной окружности s, которые получаются
как производные в нуле двух однопараметрических деформаций, сохраняющих длину. по формуле для
первой вариации длины это что-то типа любое нормальное векторное поле X, такое что (X',s') = 0
(корче касательные вектора к пространству изометрических иммерсий окружности)
можно взять эти два векторных поля X,Y и векторное поле s' , взять det(X,Y,s') в каждой точке
и проинтегрировать. это кососеммитрическая 2-форма w(X,Y). вроде также и невырождена
пусть теперь M это иммерсированная поверхность в R^3 с границей s. рассмотрим два нормальных векторных поля на M, которые являются производными в нуле двух изгибаний M (то есть однопараметрических семейств изометрических иммерсий). обозначим их ограничения на s X и Y. Верно ли, что w(X,Y)=0?
короче говоря, что на пространстве изометрических иммерсий окружности есть симплектическая структура (получаемая как предел симплектической структур Каповича-Милсона на полигонах). если затянуть петлю поверхностью, то пространство конфигураций границы поверхности сидит в пространстве петель как изотопное.
если это правда, то не понятно как доказывать, скорее всего это тяжело, потому что про пространство конфигураций поверхности мало что известно
то есть например что у выпуклй поверхности с краем всегда есть изгибания сравнительно недавний результат.
с инфинитезимальным изгибаниями поверхности должно быть проще, но я не знаю что это такое.
для плоского диска наверное можно проверить, там пространство изгибаний простое, хотя и бесконечномерное. |