вот если у нас есть компактный гладкий путь (отображение замкнутого отрезка в R^3), то ее выпуклая оболочка не может быть строго-выпуклой (строго-выпуклое подмножество это когда любая гиперплоскость пересекается с ним либо по точке, либо по полной размерности, то есть когда в границе нет отрезков)

везде предполагаем что выпуклая оболочка полной размерности (т.е. содержит открытый шар)

понятно, что это верно для всех образов гладких отображений куба в R^n коразмерности больше 1, потому что будем двигать гиперплоскость из бесконечности пока не коснемся какой-нибудь точки, рассмотрим касательное пространство T в этой точке, выберем 2-мерное ортогональное дополнение к нему R (коразмерность больше 1) и будем вращать гиперповерхность по R, оставляя неподвижным T. вращая так гиперповерхность мы либо снова коснемся какой-нибудь точки (и тогда выпуклая оболочка не строго-выпукла) либо никогда не коснемся никакой точки и наша выпуклая оболочка оказывается в афинном подпространстве неполной размерности, чего мы не допускаем.

также понятно, что нужно требование какой-то гладкости, так как для C^0 можно сделать какую-нибудь адскую кривую пеано, заполняющую сферу.

казалось бы C^1 достаточно, но я не уверен.

наверно из этого наблюдения можно сделать какую-нибудь задачку, в духе ортодоксальной геометрии