Лемма:
пусть f_i последовательно непрерывных отображений в R^n замкнутого шара B радиуса \epsilon
с центром в 0 в R^n. Пусть f_i сходится униформно к тождественному вложению. Тогда есть число k, такое что
f_k(B) содержит 0.

То есть образ замкнутого шара поглотит 0 за конечное число шагов.

Доказательство:
Если отображение g удовлетворяет условию |g(x)-x|<\epsilon, то отображение

x |-> x-g(x) это отображение из B в B. По теореме Брауэра о неподвижной точке у него есть
неподвижная точка X, то есть X=X-g(X), то есть X отправляется в 0.

Теперь надо просто выбрать такой номер i, что |f_i(x)-x|<\epsilon

Этот факт в книжках по оптимальному управлению обычно доказывают в предположении C^1 сходимости,
которая тут совсем не нужна, если знать теорему Брауэра.

А нужен этот факт для того, что любое управление имеет такое же множество досягаемости, что и релейное.
То есть просто перескакивая с одного векторного поля на другое (управления -- кусочно-постоянные функции со значением 0 и 1) можно делать все то же самое, что и кусочно-гладким или даже просто интегрируемым рулём.

Это называется поэтическим термином bang-bang control