возникла вот такая картинка:
если у нас есть труба профиль которой очень длинная замкнутая кривая.
если мы выберем любое направление L и любую плоскость H, не проходящую через ось трубы, то
сечение трубы плоскостью H будет иметь диаметр не меньший чем диаметр изначальной кривой.
более того проекция этого сечения на плоскость вдоль направления L уменьшает диаметр, в худшем случае умножая его на положительную константу [константа зависит от угла \alpha между H и L], потому что проекция липшицева, c константой типа cos \alpha. то есть если мы выберем угол по которой режем трубу то если мы будем удлинять сечение добавляю больше складок то сечение тоже будет становиться сколько угодно длинным и его проекция.

ну хочется что-то такое использовать чтобы строить многообразия большого диаметра из многообразий большого диаметра меньшей размерности.

ну например возьмем сюрьективное непрерывное отображение F из трехмерной сферы в двумерную, например Хопфа. зафиксируем на каждой сфере круглую метрику а на их произведении -- метрика произведения.
для любой кривой C в S^2 возьмем цилиндр C\times S^3 в произведении S^3\times S^2
размерность этого цилиндра 4 в 5-мерном пространстве. теперь пересечем его с графиком F, размерность
которого 3, то есть ожидаемая размерность пересечения 2. диаметр этого пересечения S [в метрика индуцироованной с метрики произведения] не меньше диаметра C [любой путь при проецированияя на S^2 только уменьшит длину]. при необходимости можно немного пошевелить F чтобы персечение стало многообразием ожидаемой размерности, при шевелении сюрьективность F не изменится.

F у нас выбрано наперед и ограничение на график F проекции из S^3\times S^2 на S^3 это липшицева взаимно-однозначная функция, с минимумом нормы производной -- каким-то положительным [быть может очень маленьким] числом \epsilon.
диаметр S при проецировании в худшем случае умножится на \epsilon. образ S будет каким-то погруженным многообразием в S^3 размерности два и любого диаметра.
кажется работает.

если работает, то следующий шаг будет попробовать проделать то же самое с CP^3 и CP^2 и в качестве графика F брать замыкание графика какого-нибудь доминантного рационального морфизма.