Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет p_govorun ([info]p_govorun)
@ 2006-01-11 18:45:00
Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Занимательная топология
Обвалился потолок,
Срочно нужен тополОг:
Связность дома изменилась,
Я постичь ее не смог.

В жизни редко встречаются проблемы, имеющие чисто топологическую природу. Тем они и интересны.

Для начала упомяну самый известный объект с нетривиальной топологией -- бублик (булочка, ограниченная тором).

И сразу перейду к куда более серьёзной топологической проблеме, с которой столкнулась Россия три сотни лет назад. Пётр I решил её военным путём, и с тех пор Росиия граничит с Балтийским морем.

Часто занимаются топологией кабельщики. Где-то на www.anekdot.ru была история про то, как телефонистам довелось соединять оборванный кабель в несколько сот пар, причём в это время шёл дождь. Они затащили концы кабеля к себе в автобус (благо, длина позволяла), и работали там. Через несколько часов, состыковав кабель, они огляделись, и поняли, что один конец кабеля тащили через переднюю дверь, а второй -- через заднюю.

Мой знакомый однажды катался с друзьями на велосипедах. По пути они перебрались по довольно неудобному (железнодорожному) мосту через канал. На обратном пути, когда все уже устали, и лезть с велосипедами на насыпь не хотелось, кто-то спросил: "А нельзя ли как-нибудь объехать мост?"

И закончу тоже кулинарией. Чтобы сделать вермишель, надо продавливать тесто через пластину с круглыми дырками. А какие дырки должны быть для макарон, кольцеобразные?

UPD: Топология фантастических миров (здесь ещё) от [info]marina_p@lj

UPD2: Совсем забыл про ещё один топологический факт из жизни. В матричных принтерах красящая лента имеет форму листа Мёбиуса. При этом важно не то, что у него одна сторона, а то, что у него один край: по этому краю и бьёт печатающая головка.

UPD3: [info]zhuzh@lj нашёл статью в Википедии про лист Мёбиуса. Там, например, история (правда, литературная, а не из жизни), про то как начальник велел покрасить одну сторону конвеерной ленты. Лента была в форме листа Мёбиуса.

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)


[info]marina_p@lj
2006-01-11 14:51 (ссылка)
В топологии есть такой объект -- длинная прямая Александрова...

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]p_govorun@lj
2006-01-11 14:54 (ссылка)
Не знал про такое. А что это?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ex_ex_zhuzh@lj
2006-01-11 15:09 (ссылка)
длинная прямая Александрова — ω1 × [0, 1), прямое произведение первого несчетного кардинала на полуоткрытый интервал, топология наводится лексикографическим порядком. (И зачем я это знаю, интересно?)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]marina_p@lj
2006-01-11 15:10 (ссылка)
Ординала, а не кардинала, раз уж речь об лексикографическом порядке :-)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ex_ex_zhuzh@lj
2006-01-11 15:20 (ссылка)
Тьфу, ординала, конечно.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]p_govorun@lj
2006-01-11 15:20 (ссылка)
Спасибо. Теперь и я это зачем-то знаю :-)

(Ответить) (Уровень выше)


[info]marina_p@lj
2006-01-11 15:10 (ссылка)
Пусть есть два полуинтервала. Мы можем их склеить, приставив открытый конец одного к закрытому концу другого.
Теперь пусть у нас есть много таких полуинтервалов, пронумерованных последовательно ("много" = первый несчетный ординал). Мы их склеиваем подряд, один за другим, в том порядке, в котором они пронумерованы. Получается длинная полупрямая. Если склеить две таких полупрямых -- нашу и симметричную ей (то есть растущую в противоположную сторону), то получится длинная прямая.
Эта штука интересна тем, что она является топологическим одномерным многообразием (то есть окрестность любой ее точки топологически -- открытый интервал), и даже гладким. И при этом не обладает счетной базой окрестностей, и даже не обладает счетным всюду плотным множеством. Используется, например, для демонстрации того, как плохо жить без счетной базы -- поэтому на многообразия обычно накладывают доп.условие счетности этой самой базы. С этим условием одномерных многообразий всего два -- обычная прямая и окружность.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]p_govorun@lj
2006-01-11 15:18 (ссылка)
Спасибо.

Такую макаронину можно на куски поломать и в суп. Из одной макаронины выйдет трансфинитная уйма супа. :-)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]marina_p@lj
2006-01-11 15:20 (ссылка)
Вот что значит здравый смысл! А математикам такое и в голову не приходило.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]p_govorun@lj
2006-01-11 15:26 (ссылка)
Я теперь сижу, и пытаюсь понять математический смысл выражения "трансфинитная уйма" :-)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]marina_p@lj
2006-01-11 15:30 (ссылка)
Слово "трансфинитный" используется вроде бы для перехода от конечного к бесконечному. Так что тут лучше сказать -- "столько макаронинок, что и не пересчитать!" (и ни в сказке сказать, ни пером описать)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]p_govorun@lj
2006-01-11 15:37 (ссылка)
Тут главное -- не путать ординалы и кардиналы :-) Суп неупорядочен, поэтому его ординалами мерить нельзя.

(Зато я сейчас понял, что значит выражение "вагон и маленькая тележка". Это ω0+1 :-)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]marina_p@lj
2006-01-11 15:41 (ссылка)
Но если мы верим в аксиому выбора, то можно и посчитать, только счетных ординалов не хватит.

Есть еще такая замечательная вещь -- сюрреальные числа. Вы не слышали про них? Когда-то давно (когда я в школе училась) в "Кванте" про них была статья, меня очень впечатлило.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]p_govorun@lj
2006-01-11 15:50 (ссылка)
С аксиомой выбора всегда такие проблемы. Не удивительно, что она позволяет перенумеровать суп. :-)

А статью в "Кванте" я помню, кажется, ту самую (там были стрелочки вниз и стрелочки вверх, да?) Меня она тоже очень впечатлила, но больше я ничего на эту тему не слышал, и сама статья с тех пор потерялась. А я бы её с удовольствием перечитал, потому что я уже забыл, как там строились эти штуковины, но, насколько я помню, это были какие-то совершенно необычные объекты.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ex_ex_zhuzh@lj
2006-01-11 17:23 (ссылка)
Есть хорошая статья про них: http://www.tondering.dk/claus/sur15.pdf

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]p_govorun@lj
2006-01-11 17:41 (ссылка)
Спасибо! Скачал, буду читать.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]marina_p@lj
2006-01-12 00:42 (ссылка)
Да, как раз про стрелки. Год, наверное, в районе 1980-82 (плюс-минус). На сайте www.mccme.ru есть ссылка на страничку Кванта, там все старые номера выложены, и оглавления есть.

А я во второй раз о них услышала в 2001 году только, на конференции был доклад.

Автор этих чисел -- Конвей, их еще называют "Сюрреальные числа Конвея". Можно поискать по "surreal numbers", наверняка есть много статей.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]p_govorun@lj
2006-01-12 06:42 (ссылка)
Спасибо. Там выше ёщё [info]zhuzh@lj ссылку дал, буду читать.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]marina_p@lj
2006-01-12 06:53 (ссылка)
Вот еще: http://www.usna.navy.mil/MathDept/wdj/surreal_numbers.html, там и ссылки есть.
В Кванте был очень сильно урезанный вариант, детский. И я из той статьи толком так и не поняла, что это за \omega^2 всякие. То есть трансфинитная часть конструкции для меня загадкой осталась в то время. Все-таки про ординалы надо нормальное изложение читать.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]p_govorun@lj
2006-01-12 07:01 (ссылка)
Я помню, что урезанность статьи очень сильно ощущалась. Оставалось чувство, что ещё много всего интересного, но нам это не рассказали :-)

(Ответить) (Уровень выше)


[info]besm6@lj
2006-01-11 18:00 (ссылка)
Мы не верим в аксиому выбора.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]p_govorun@lj
2006-01-11 18:04 (ссылка)
А как же без неё есть суп? Надо ведь выбрать, с какой макаронинки начинать. :-)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]besm6@lj
2006-01-11 18:08 (ссылка)
А это тут при чем? Тут у нас всего одно множество макарон, зачем нам аксиома выбора?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]p_govorun@lj
2006-01-11 18:26 (ссылка)
Каждый раз, зачёрпывая суп ложкой, вы делаете выбор. В конце концов, когда весь суп будет съеден, он окажется упорядочен.

А вот кто-нибудь вроде бегемота мог бы заглотить кастрюлю разом. Ему аксиома выбора не нужна.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]besm6@lj
2006-01-11 18:41 (ссылка)
Если я намерен доесть до конца несчетный суп, мне придется помещать в одну ложку, гм, существенно более одного интервала макаронины...

Но, собственно, мы довольно сильно не верим в аксиому выбора. Мы конструктивисты, и наш континуум счетен.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]p_govorun@lj
2006-01-11 18:51 (ссылка)
мне придется помещать в одну ложку, гм, существенно более одного интервала макаронины...

Это потому что вы конструктивисты. :-) А нам не лень зачерпнуть ложкой трансфинитное количество раз.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]besm6@lj
2006-01-11 20:00 (ссылка)
[info]nasse@lj предложила взять бесконечно голодного студента. А макаронину не резать. Он ее тогда всосет одним трансфинитным глотком за вполне конечное время.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]p_govorun@lj
2006-01-11 20:08 (ссылка)
Ужас! :-) Бесконечно (и непрерывно) голодный студент -- это сила. Вот это по-настоящему конструктивистский подход к проблеме.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]marina_p@lj
2006-01-11 15:19 (ссылка)
Пардон, про гладкость я, кажется, наврала. Но это и неважно -- она как пример "плохого" топологического многообразия используется.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ex_ex_zhuzh@lj
2006-01-11 15:27 (ссылка)
Почему же, вполне себе гладкая.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]marina_p@lj
2006-01-11 15:29 (ссылка)
А как же край интервала, номер которого -- предельный ординал?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ex_ex_zhuzh@lj
2006-01-11 15:34 (ссылка)
Этот край ведь открытый, нет?

(Ответить) (Уровень выше)


[info]ex_ex_zhuzh@lj
2006-01-11 15:34 (ссылка)
В смысле, этот конец открытый, а края нет.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]marina_p@lj
2006-01-11 15:38 (ссылка)
Я имела в виду предельный счетный ординал. В окрестности этой точки сгущается счетное число интервалов. Их можно гомеоморфно запихать в конечный интервал, а диффеоморфно -- не получится.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ex_ex_zhuzh@lj
2006-01-11 15:59 (ссылка)
А, понял. ω1={0,1,2,...,ω0,...,ωω,...}, a интервала с номером ω1 просто нет!

(Ответить) (Уровень выше)


[info]ex_ex_zhuzh@lj
2006-01-11 16:04 (ссылка)
Вкралась очепятка, никакая не &omegaω, а 2&omegaω.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]ex_ex_zhuzh@lj
2006-01-11 20:56 (ссылка)
Опять не дочитал ;) предельный счетный ординал. Можно диффеоморфно, но сложнее, чем я думал ;)

http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/Math-Net/Lehrveranstaltungen/Lehrmaterial/WS2005-2006/Mannigfaltigkeiten/mfkt3.ps

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]marina_p@lj
2006-01-12 02:59 (ссылка)
Нет, позвольте, как это диффеоморфно? Длина образа i-го интервала будет стремиться к нулю при i \to \omega, значит, производная тоже стремится к нулю, и по непрерывности равна нулю в предельной точке. Значит, обратное отображение в этой точке недифференцируемо.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ex_ex_zhuzh@lj
2006-01-12 12:21 (ссылка)
Так, вместо того, чтобы программы писать, я сейчас буду подробно курить эту статью, в которой чёрным по-английскому написано smooth long line. Либо там ошибка, либо это какая-то не совсем та длинная прямая. Но с первого взгляда кажется, что именно та. Может, Вы разберетесь?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]marina_p@lj
2006-01-12 12:59 (ссылка)
Нет, вы знаете, у меня нет желания разбираться в этой статье.
Но я тут подумала -- возможно, она действительно может быть снабжена гладкой структурой. По крайней мере на (\omega+1)x[0,1) гладкую структуру ввести можно.
Про производную отображения -- это я о чем-то не о том совсем говорила.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ex_ex_zhuzh@lj
2006-01-12 13:53 (ссылка)
Вот, и меня ввели в заблуждение. Надо, чтобы g∘f-1 было дифференцируемым, а вовсе не.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]ex_ex_zhuzh@lj
2006-01-11 15:06 (ссылка)
Именно-именно ;)

(Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -